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왜 부등식의 성질은 등식의 성질과 다른가

Posted at 2011-11-28 17:29:30

<DIV class=board>
따짐이: 지난번에 등식의 성질에 대해 말씀해 주신 것 감사했어요. 등식의 
성질이라 부르&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;는 
것은 결국 함수의 성질이라는...
선생님: 그렇게 요약할 줄 아는 것을 보니 정말 잘 이해했나 보구나. 오늘은 
무슨 질문이지?
따짐이: 등식의 성질이 그런 것이면, 부등식의 성질도 비슷한 
것인가요?
선생님: 글쎄...&nbsp; 보기에 따라서는...
따짐이: 그것들이, 다 똑같은데 부등식은 양변에 ‘음수’ 를 곱하면 부등호의 
방향이 바뀐다 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 는 것만 
다르잖아요?
선생님: 그래서?
따짐이: 그게 과연 뭔가 근본적으로 비슷한 것이라서 그런 건가요, 아니면 
우연히 결과만 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 비슷한 
건가요?
선생님: 너는 어떻게 생각하니?
따짐이: 등식의 성질과 부등식의 성질은 뭔가 근본적으로 다른 것이라고 
생각되는데요.
선생님: 왜 그렇지?
따짐이: 등식의 성질은 하나의 깨끗한 법칙이죠. 같은 수에 같은 일을 하면 
그 결과가 같다.&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;물론 그 ‘일’이 ‘함수’ 여야 하겠지만요.&nbsp;그런데 부등식의 성질은 대소관계에 대한 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 것인데 어떨 때는 대소관계가 
그대로고, 어떨 때는 뒤집히고, 그 때 그 때 달라서 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 뭔가 지저분한 
느낌이...
선생님: 다른 건 사실이지.&nbsp; 등식은 ‘같음’에 대한 이야기이고, 
부등식은 ‘순서’에 대한 이야 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
기이니까.&nbsp; 같다는 것이 크고 작음보다는 더 근본적인 성질이겠지. 하지만 좀 더 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 범위를 넓혀 생각하면 등식의 
성질과 부등식의 성질은 또 통하는 면이 있지.
따짐이: 넓게 생각한다면...&nbsp; 등식의 성질에서, 양변에 같은 수를 
더하거나 빼거나 곱하거나 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
나누거나 하는 것뿐만 아니라 다른 함수를 적용시킬 경우를 생각했듯이 말이지요?
선생님: 그래.
따짐이: 음...&nbsp;&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_29,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322468766.jpg">일 때, 양변에 같은 수를 더하면, 이런 
것이 아니라, 양변에 같은 함수를 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;적용하면?
선생님: 그렇지!
<img onLoad='miniSelfResize(contents_29,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322468819.jpg">
선생님: 없지.&nbsp; 하지만 어떨 때는 그렇게 말할 수 있지.
<img onLoad='miniSelfResize(contents_29,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322468867.jpg">
선생님: 그렇지.&nbsp; 바로 그래.
따짐이: 그런데 그건 부등식의 성질을 함수 기호를 써서 나타낸 것밖에 안 
되는 것 같은데요?
선생님: 아니지.&nbsp; 어떨 때는 대소관계가 그대로고, 어떨 때는 
대소관계가 바뀌는데, 그 ‘어 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
떨 때’ 에 해당하는 것이 무엇이냐는 것이 분명해지지 않았니?
따짐이: 글쎄, 저한테는 별로 분명하지가 않... 아, 그렇군!&nbsp; 
결국 함수가 어떤 것이냐에 따 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
라 부등호의 방향이 달라지는 것이군요.
선생님: 바로 그거야.&nbsp; 어떤 함수는 대소관계를 그대로 
유지시키고(어려운 표현으로는 ‘보 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
존하고’), 어떤 함수는 대소관계를 뒤집고, 어떤 함수는 그 어느 쪽도 아닌 것이지.
따짐이: 그렇다면... 어떤 수를 더하거나 빼는 함수, 양수를 곱하거나 
나누는 함수는 모두 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
대소관계를 보존하는 함수고, 음수를 곱하거나 나누는 함수는 대소관계를 뒤집는 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 함수다...
선생님: 그렇지.
따짐이: 이렇게 말하니까 뭔가 있어 보이네요.
선생님: 하지만, 그것뿐이라면 별로 쓸모는 없어. 어떤 수를 더하는 것이 
대소관계를 보존 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 하는 함수라는 
말은 부등식의 양변에 같은 수를 더하면 부등호의 방향이 바뀌지 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 않는다는 말을 좀 어렵게 한 
것뿐이니까.
따짐이: 듣고 보니 또 그렇네.
&nbsp;

<TABLE style="WIDTH: 627px; HEIGHT: 284px" border=0 cellSpacing=0 cellPadding=0 
width=627>
<TBODY>
<TR>
<TD width=288>
선생님: 하지만 함수의 그래프를 생각해 보면 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 어떤 것이 대소관계를 
보존하는 함수 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 이고 어떤 것이 
대소관계를 반전하는 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 함수인지 
쉽게 알 수 있지.&nbsp; 
대소관계 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;를 보존하는 
함수란, 결국 큰 값을 넣을 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
수록 큰 값을 내놓는 함수이기 때문에 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 그래프를 그려 보면 왼쪽 
아래에서 오 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;른쪽 
위를 향하는 그래프가 되지.&nbsp; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 대소관계를 뒤집는 함수는 
왼쪽 위 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;에서 오른쪽 
아래를 향하는 그래프 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 가 
되고.</TD>
<TD width=288>
<img onLoad='miniSelfResize(contents_29,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 hspace=0 alt="" align=baseline 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/i090119041_090116.jpg"></TD></TR></TBODY></TABLE>
&nbsp;
따짐이: 호오, 그렇다면... 어떤 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 
나누는 것은 모두 일차 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
함수니까 그래프가 모두 직선이고, 기울기가 음수가 되는 <img onLoad='miniSelfResize(contents_29,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322468950.jpg">같은 경우만 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 대소관계를 뒤집는 함수, 
나머지는 대소관계를 보존하는 함수...&nbsp; 말 되네.
선생님: 아주 말이 잘 되지.&nbsp; 수학 용어로는 우리의 ‘대소관계를 
보존하는 함수’ 를 ‘순증가 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
함수’ 라고 하고 ‘대소관계를 뒤집는 함수’ 를 ‘순감소함수’ 라고 하니까, 그 용어를 &nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; 사용해서 부등식의 성질을 다시 말해 볼 수 있겠지?
따짐이: 어떤 수를 더하거나 빼는 함수는 순증가함수, 양수를 곱하거나 나누는 
함수도 순 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 증가함수, 음수를 
곱하거나 나누는 함수는 순감소함수.
선생님: 그래.&nbsp; 이것도 결국 함수에 관한 문제야.&nbsp; 
함수의 정의 자체는 ‘같음’ 을 보존한다는 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
&nbsp; 것이었지.&nbsp; 원래 같았으면 함수를 작용한 뒤에도 같다고 말이야.&nbsp; 그 함수에 
대소 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 관계를 보존한다는 조건을 
붙인 것이 순증가함수인 것이지.
따짐이: 원래 더 컸으면 순증가함수를 작용한 뒤에도 더 크다?
선생님: 그래.&nbsp; 꼭 대소관계뿐만이 아니라 일반적으로 어떤 관계나 
성질을 ‘보존’ 하는 함수 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
들이 수학에서 중요한 역할을 하는 경우가 많고, 그런 함수들은 연속함수니 
일차 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 변환이니 하는 특별한 
이름으로 불리게 되지.&nbsp; 대상들 사이의 관계, 그리고 
그것들 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 에 어떤 변화가 생겼을 
때(즉 함수를 작용했을 때) 그 관계가 어떻게 되는가를 
살 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 펴보는 것은 수학에서 하는 
아주 중요시되는 일 중 하나이니까. </DIV>

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