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왜 음수 곱하기 음수는 양수인가?

Posted at 2011-11-28 17:24:17

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따짐이: 선생님, 음수끼리 곱하면 왜 양수가 되는 거죠?
<?xml:namespace prefix = o ns = 
"urn:schemas-microsoft-com:office:office" /><o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 왜, 
불만이냐?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 아니오.&nbsp; 
하지만 3´4 는 사과가 3개씩 4줄 있으면 12개가 된다는 식으로 이해할 수 있는데 
(-3)´(-4) 는 어떻게 이해해야 
할지…<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 그러면 
4´(-3) 같은 것은 이해가 된단 
말인가?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그건, 4명한테 3만원씩 빚지고 있으면 전체 12만원 빚지고 있다는 
식으로…<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 그건 그냥 
3´4 아닐까?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 빚은 음수라고…<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 하지만 사과니, 
빚이니 하는 것은 다 비유일 뿐이야.&nbsp; 왜 꼭 빚을 음수로 
생각해야 하지?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 하지만, 어쨌든 사과의 개수에다 양수를 곱하면 역시 사과의 개수로 볼 수 있고, 
빚에다가 양수를 곱하면 역시 빚으로 볼 수 있는데, 음수를 곱하면, 그게…<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: -4명에게 
3만원씩 빚진다느니 이렇게 생각하는 것이 말이 안 되기 때문에 이해가 안 된다는 것인가?&nbsp; 다시 말해, 적절한 비유(모델)을 찾기가 어렵다는 것이 
문제이지?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그렇게 말씀하시니까 별 것 아닌 것처럼 보이기도 
하네요.<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 별 것 아닌 건 
아니야.&nbsp; 교과서에서 곱셈을 가르치는 방식에 문제가 있을지도 
모른다는 뜻이니까.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 알겠어요.&nbsp; 
곱셈을 꼭 ‘똑같은 것들이 여러 개 있는’ 상황에 비유해서 가르치는 것이 문제라는 거죠?&nbsp; 그렇게 하면 음수 곱하기 양수까지는 그런대로 설명할 수 있는데, 음수 
곱하기 음수를 가르칠 때는 한계에 부딪친다, 이런…<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 그래.&nbsp; 물론 나중에는 직선 위에서의 물체의 운동이라든지 하는 다른 비유(모델)을 
사용해서 양수건 음수건, 또 정수이건 아니건 모두 다룰 수 있게 되지.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 맞아요.&nbsp; 
나중에는 결국 수직선 위에서 점이 움직이는 것으로 설명하더군요.&nbsp; 
그럼… 처음부터 그걸로 하지 왜 이렇게 헷갈리게 해 놓은 거죠?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 물건의 개수에 
비유해서 설명하는 것, 재산과 빚에 비유해서 설명하는 것, 또는 빨강단추, 파랑단추 같은 것으로 설명하는 것, 이런 것 자체는 훌륭한 교수 
방법이야.&nbsp; 처음부터 수직선이니 속도니 하는 것으로 설명하면 너무 
추상적으로 되어 버려서 이해하는 데 문제가 많을 것이니까.&nbsp; 
역사적으로 음수의 곱셈이 발전되어 온 과정을 봐도 그렇지.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그럼 뭐가 문제죠?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 그런 비유들의 
정체를 밝히지 않고 넘어가는 것이 문제라고 생각해.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 정체?&nbsp; 
그것들의 정체가 뭔데요?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 그것들은 
자전거타기를 연습하기 위해 자전거에 다는 보조바퀴 같은 것이지. 음수의 곱셈(연산)을 배우기 위해 잠시 사용하는 
수단이야.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그런데 그 보조바퀴를 나중까지 떼지 않는다는 
말씀?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 바로 그거야! 
‘옛날에 사용했던 사과, 빚, 단추 같은 것들은 잊어라.&nbsp; 사실 
수의 연산이란 그 자체의 의미를 갖는 것이고 실제적인 무엇에 꼭 들어맞지는 않는다.’ 고 언젠가는 말해 주어야 하는데, 그러지 않고 애매하게 
넘어간다는 것이지.&nbsp; 그러다 보니 학생들은 나중까지 음수를 빚이나 
단추 같은 것과 동일시한다거나, 음수라는 것은 그런 실제 상황들을 설명하기 위한 수단이라고 오해한다거나 하는 일이 일어난다는 거야.&nbsp; 사실은 그런 실제 상황들이 음수의 연산을 이해하기 위한 수단인데 
말이지.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 좋아요.&nbsp; 
음수 곱하기 음수가 양수가 되는 이유를 꼭 무슨 실제 상황을 가지고 설명할 필요는 없다는 것이죠?&nbsp; 그런 것들을 설명하기 위해 음수가 있는 것도 아니고요. &nbsp;처음에 설명하기 위해 비유를 사용할 수는 있지만, 그것은 곧 떼어버려야 할 
보조바퀴일 뿐이고요.&nbsp; 한마디로 음수는 음수일 뿐 빚이나 단추 
같은 것과는 별개로 존재하는 것이다. &nbsp;맞나요?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 
정확해.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그렇다면 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 진짜 이유는 
무엇이죠?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 우선, 
(-3)´4 는 왜 -12 가 되는 걸까?&nbsp; 빚이라든지 하는 비유를 통하지 말고, 수학 안에서 이유를 
찾는다면?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 음… 3´4 와 부호가 반대라는 것을 밝히면 되나요?&nbsp; 그런데, 부호가 반대라는 
것은…<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 거기가 
핵심이야.&nbsp; 부호가 반대라는 것은?&nbsp; 무슨 뜻일까?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: -a 는 a 와 더해서 0 이 되는 
수…<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 그렇지! 
3´4&nbsp; 
와 (-3)´4 가 부호가 반대라는 것을 밝히려면 더해서 0 이 되는 것을 보이면 되는 
거지.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그렇다면…&nbsp; 
3´4 + (-3)´4 는, 그렇지 분배법칙에 의해 {3 + (-3)} ´4 인데, 3과 ?3은 부호가 반대니까 더해서 0, 즉 이것은 0 곱하기 4 로 
0 이다… 이게 맞나요?&nbsp; 식으로 쓰면&nbsp; 3´4 + (-3)´4 = {3 + (-3)} ´4 = 0´4 = 0&nbsp; 
이다.&nbsp; 다시 말해 3´4&nbsp; 
와 (-3)´4 를 더하면 0 이 되므로 이 둘은 부호가 반대다. 3´4 가 12 이니까 (-3)´4 는 ?12 이다.<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 바로 
그거야.&nbsp; 그럼 이제 (-3)´(-4) = 12 가 되는 이유도 알 수 
있겠지?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: (-3)´4 + (-3)´(-4) = 0 인 것만 보이면 되는 거니까, 똑같이 하면 
되는군요.<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 그래.&nbsp; 수학적 성질은 원래 다른 것들을 동원해서 이해할 필요가 없어.&nbsp; 그 자체의 논리로 전개되는 
것이니까.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그런데 교과서에서는 꼭 실제 상황에 비유해서 설명을 하려고 
하더군요.<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: 
그렇지.&nbsp; 그것은 아까 말했듯이, 일단 어느 정도 이해하게 하기 
위한 수단, 보조바퀴라는 것이야.&nbsp; 어느 단계에서는 그것을 떼어 
버리고, 수학 자체의 논리로 그런 개념이나 성질들이 성립한다는 것을 깨닫도록 해야 해.&nbsp; 그 자체의 논리로 전개된다는 것이 수학의 가장 본질적인 특성이라고도 할 
수 있으니까 말이야.</DIV>

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