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어떻게 해야 수학 공부를 잘 할 수 있는가?

Posted at 2011-11-28 16:03:28

<SPAN 
style="FONT-FAMILY: 굴림; FONT-SIZE: 10pt; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: KO; mso-bidi-language: AR-SA">&nbsp;
이 글은 저널 '수학사랑' 54호(2006년 1/2월호)에 실렸던 필자의 글을 조금 고친 
것입니다.<?xml:namespace prefix = o ns = 
"urn:schemas-microsoft-com:office:office" 
/><o:p></o:p>
&nbsp;
&nbsp;
따짐이: 어떻게 하면 수학 공부를 잘 할 수 있을까요?&nbsp;<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 음... 그건, 
수학 공부를 잘 한다는 게 무슨 뜻이냐에 따라 대답이 달라지겠지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 글쎄요, 수학 공부를 잘 한다 못 한다를 구별하는 기준은 보통 수학 시험 
점수이죠.&nbsp; 다시 말해 수학 공부를 잘 하는 방법이란, 수학 시험 점수를 올리는 방법을 말한다는 
것이죠.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 수학 점수를 
올리는 방법?&nbsp; 그것은 수학에서 배워야 할 것을 제대로 배우면 되지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 수학에서 배워야 할 것이 뭔데요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 교과서에 나와 
있는 지식들, 그리고 그것들 사이의 관계, 그리고 사물을 수학적으로 보는 사고방식, 그리고 수학이 가치 있다는 믿음, 이런 
것들이지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 헐~
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 
왜?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 사람들은 보통 ‘교과서에 나와 있는 지식들’만 생각할 것 같은데요.&nbsp; 
나머지 것들은 수학 점수를 올리는 데 소용이 없지 않을까요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그렇게 
생각하기가 쉽지.&nbsp; 하지만 지식들 사이의 관계, 사물을 수학적으로 보는 사고방식, 수학이 가치 있다는 믿음 같은 것들은 비록 교과서에 
명시적으로 나와 있지는 않고, 수학 시험에도 나오지는 않지만 수학 교육을 통해서 반드시 앞 세대에서 뒤 세대로 이어져야 하는 것이야.&nbsp; 
수학은 서로 관계 지어지지 않은 단편적인 지식들의 집합이 결코 아니고, 수학을 가르치고 배우는 이유는 그런 단편적인 지식들을 전해 주는 것이 
아니라는 거지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 하지만, 지금 방금 말씀하셨듯이, 그런 것들이 수학 교과서와 시험에 나오지 
않는다면 수학 점수를 올리는 데 별 소용이 없지 않느냐는 것이죠.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 정말 그렇게 
생각하니?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 아니 뭐 꼭 그렇다기보다, 보통 그렇게들 생각할 것 
같다는...
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 눈에 보이는 
결과에만 집착하면 정말 중요한 것을 놓치게 되지.&nbsp; 단기적으로는 복잡하게 생각할 것 없이 각 단원에서 시험 문제에 나올 수 있는 
유형들을 나열하고 그것을 빠르고 정확히 풀 수 있도록 반복 숙달하는 것이 점수 올리기에는 도움이 될 수도 있어.&nbsp; 하지만 길게 보면 
이야기가 달라지지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 왜요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 시험문제에서 
위력을 발휘하는 ‘문제풀이용 지식’들은 대개 해당 단원, 해당 유형 문제에만 적용되지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 문제집을 보면 그렇게 되어 있어요.&nbsp; 문제 유형에 따라 어떻게 풀어야 
하는지가 나와 있죠.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 문제 유형별 
풀이 방법을 익히고, 그것도 실수를 방지하기 위해 반복 숙달하다 보면, 그 사람의 정신에 자리 잡은 수학 지식이란 어떤 것이 될까?&nbsp; 
수학적 지식이란 이리 저리 얽혀 있는 그물과 같은 것인데, 그 연결이 대부분 잘려 산산이 흩어진 상태로 그저 ‘쑤셔넣어져’ 있게 되지 
않을까?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 연결 그 자체를 만드는 데 시간과 노력이 든다면 그것이 
효율적이겠죠.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그래서 
단기적으로는 점수 올리는 데 도움이 될 수 있다는 거지.&nbsp; 하지만, 그런 식으로 서로 연결되지 않은 지식의 집합을 언제까지 계속 담아 
둘 수 있다고 생각하니?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 모르죠.&nbsp; 하지만 수능 시험 볼 때까지만 넣어 두면 
되니까...
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 
그래.&nbsp; 그렇게 생각하는 사람이 많지.&nbsp; 하지만 이렇게 단편적인 것들의 집합을 계속 기억하려면 점점 더 많은 반복 숙달이 
필요해지지.&nbsp; 이것을 몇 년간 계속한다는 것은 매우 고통스러운 일이야.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그래서 수학 하면 몸서리치는 사람들이 많죠. 
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 
그렇지.&nbsp; 수학은 그런 식으로 공부하기에는 가장 부적당한 과목이고, 내용도 엄청 많으니까.&nbsp; 어쨌든 그런 식으로 하다보면 이미 
넣어져 있는 것이 많을수록 새로 무엇인가를 집어넣기는 점점 어려워지게 되겠지.&nbsp; 심리적인 압박감이 생김은 물론, 점수 올리기에도 실패할 
가능성이 매우 높아.&nbsp; 또한, 예컨대 수능 시험을 보고 나면 반복 숙달을 계속하지 않을 테니 그런 지식은 급속도로 사라지고, 그 
사람에게 고통스러웠던 기억만을 남기게 되겠지.&nbsp; 이것이 시험 점수 올리기식, 문제유형 반복 숙달식 공부의 
한계야.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그렇다면 어떻게 해야 수학 공부를 잘 할 수 
있을까요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 제대로 
공부해야지.&nbsp; 수학에서 배워야 할 것을 모두 배우면서.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 예를 들어서 어떻게요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 예를 들어, 
중학교 때부터 여러 가지 함수를 배우지.&nbsp; 일차함수, 이차함수, 분수함수, 무리함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등등.&nbsp; 
이런 것을 배울 때마다 반복 숙달해야 할 문제 유형이 늘어난다고 생각하면 얼마나 괴로울까?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그렇겠죠.&nbsp; ‘삼각함수 같은 건 누가 만들어서 나를 이렇게 고생을 
시키는 거야!’ 이러면서.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 하지만 각 단원에서 우리가 하고 있는 것은 사실 똑같은 일이야.&nbsp; 식과 그래프의 관계를 
탐구하는 일이지.&nbsp; 모두 같은 원리로 설명 가능하다는 이야기야.&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
예를 들어 각 함수 단원에는 모두&nbsp; 그래프가 어떤 특정한 점을 지난다는 조건을 사용하여 함수의 식에 들어 있는 미정계수를 구하는 문제가 
있지.&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
직선 <img onLoad='miniSelfResize(contents_18,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322463671.jpg">&nbsp;의 그래프가 점 
(3, 0)을 지날 때 a 의 값을 구하여라, 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;어떤 
이차함수의 그래프의 꼭지점이 (1, 2)이고 (0, 3)을 지날 때 그 이차함수의 식을 구하여라,&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_18,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322463779.jpg">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; 이것들이 하나의 원리로부터 나온, 모두 연결되어 있는 문제라는 생각을 할 줄 아는 학생에게는 
새로운 함수를 하나씩 공부해 간다는 것은 괴로운 일이 아니라 재미있는 일이고, 저금통장에 돈이 쌓여 가는 것처럼 뿌듯한 
일이야.
&nbsp;
따짐이: 맞아요.&nbsp; 하나의 원리로 여러 가지를 설명할 수 있다는 것을 깨달을 
때나, 수학이 아닌 다른 곳에서 수학적 원리를 적용해서 문제를 해결할 수 있다는 것을 깨달을 때, 수학을 배운 보람이 있다고 생각하게 
되더라고요.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그래. 문제를 
풀어 보는 것은 공부를&nbsp;하기 위한 좋은 방법이야.&nbsp; 교과서에 문제들이 나와 있는 원래 이유는, 문제를 푸는 경험을 통해 ‘아, 
맞아.&nbsp; 그래프는 그 식을 참으로 만드는 순서쌍 (x, y) 들의 집합이었지.&nbsp; 그러니까 그래프가 어떤 점을 지난다는 것은 그 
점의 좌표가 식을 만족한다는 뜻이지’ 하는 식으로 함수와 그래프의 관계에 대한 원리를 확실히 이해하고, 그 원리가 어떻게 구체적인 상황에 
적용되는지 깨닫는 것이야.&nbsp; 그렇게 원리를 이해한다면, 예를 들어 두 그래프의 교점의 좌표를 구하는 문제를 만났을 때, 전혀 그런 
유형의 문제를 풀어 본 적이 없더라도 그 원리에 비추어서 생각하여 그 풀이 방법을 ‘발견’할 수 있겠지.&nbsp; 원리를 모르고 문제 풀이 
방법만 연습했다면, 새로운 문제는 새로이 연습해야 할 또 하나의 대상일 뿐일 테고.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 점수는 좋은데 못 보던 문제를 만나면 곧 포기하는 친구가 있는가 하면, 끝까지 
문제를 붙잡고 마침내 
풀이를 알아내는 친구도 있어요.&nbsp; 그런 차이군요.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그런 식으로 큰 
원리를 생각하면서 모든 것을 연결 지어 생각하면 12년간 배우는 수학 교과서의 내용도 결코 많은 것이 아니야.&nbsp; 몇 개의 원리로 모두 
설명 가능하니까.&nbsp; 게다가 배우면 배울수록 서로서로 연결되어 더 많은 것을 배울 수 있는 실력(수학적 사고력, 문제 해결력)이 생기게 
되지.&nbsp; 그렇게만 된다면 사물을 수학적인 원리에 비추어 볼 수 있는 안목도 저절로 생기고, 수학이 왜 가치 있는 학문인지 누가 말해 줄 
필요도 없게 돼.&nbsp; 결국 시험 점수도 올라가게 되겠지.&nbsp; 점수를 올리기 위해 공부하는 것이 아니라 공부를 해서 그 결과로 
점수가 올라가는 것, 이것이 제대로 공부했을 때 일어나는 일이야.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그렇게 수학을 ‘지대(제대로)’ 공부하는 학생이 몇이나 될까요? 

<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 별로 없는 것 
같아.&nbsp; 제대로 공부를 하려면 점수에 직접 관련이 없는 것이라도 충분히 고민하고 탐구해 보는 것이 필요한데 보통 그러지 않는다는 
거야.&nbsp; 예를 들어 문제를 풀 때 그 풀이 방법이 어떻게 해서 나왔는지 기본 원리에서부터 차근차근 짚어 보지 않고 풀이 방법 그 자체만 
알면 넘어가 버린다거나, 집합 단원에서 나오는 교집합과 일차 부등식에서 나오는 교집합, 부등식의 영역에서 나오는 교집합이 있다고 할 때 그것들이 
왜 같은 개념이 되는지 따져보려고 하지 않고 각각의 단원에서 문제 풀이 방법만 계속 반복해 연습한다든지, 이런 식으로 공부를 한다는 
거지.&nbsp; 이건 공부가 아니라 문제 풀이 훈련에 불과하다고 봐야 해.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 왜 그렇게 되었을까요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 당장의 점수에 
초조해하고 조바심 내는 학생과 학부모도 문제지만 교육이 ‘상품’으로 취급되는 사회 환경이 사람들을 그렇게 만들었다고도 할 수 
있지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 교육이 상품이면, 소비자인 학생이나 학부모의 필요에 맞는 교육이 되는 게 
아니고요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그게 그렇게 
간단한 문제는 아니야.&nbsp; 예를 들어 식품도 그래.&nbsp; 식품이 상품이니까 결국 어떻게 되었지?&nbsp; 제대로 된 식품보다는 
당장 입에 당기고 보기 좋은 식품들이 넘쳐나지.&nbsp; 교육의 경우 학생이나 학부모의 ‘필요’ 라는 것은 사실 점수에 대한 조바심에 불과한 
경우가 많아.&nbsp; 교육이라는 상품을 파는 쪽에서 자기들에게 유리한 방향으로 만들어 가고 있다고도 할 수 있고.&nbsp; 어쨌든 그 
결과가 지금 보고 있는, 시험 점수 올리기식의 얕은 공부의 거대한 물결이라고 할 수 있지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 제대로 공부하려고 해도 사회가 안 도와준다...
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 
그래.&nbsp; 바로 그렇지.&nbsp; 이런 사회에서는 가정, 학교, 학원, 국가(정부) 등이 제대로 된 공부를 도와줄 거라고는 생각하지 
않는 게 좋아.&nbsp; 스스로 의식을 갖고 정신을 바짝 차리는 수밖에 없지.

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