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왜 0.999999… = 1 인가?

Posted at 2011-11-28 15:13:58

따짐이: 
선생님, 0.999999… 
는 정확히 1 인가요?
 &nbsp;<?xml:namespace 
prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" 
/><o:p></o:p>
선생님: 
그래.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
정말? 진짜?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
갑자기 왜 이러니?&nbsp; 교과서에서도 
나오잖아?
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
그래요. x 를 0.999999… 
라 하면 그 10 배인 10x 는 9.99999… 
이고 그것들을 빼면 9x 가 9.99999… 
에서 0.99999… 
를 뺀 것이니까 9 와 같다.&nbsp; 즉 9x = 9 이니까 x = 1 
이다.
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
잘 아는구만.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
그런데 뭔가 속는 것 같다니까요.
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
그래?
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
우선, 0.99999… 
에서 소수점 뒤에 있는 것하고 그것을 10배 해서 나온 9.99999… 
에서 소수점 뒤에 있는 것하고 정말 같을까요?&nbsp; 9가 하나 적지 
않을까요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
어차피 무한인데 하나 적어 봐야 똑같은 거지.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
바로 그거예요.&nbsp; '어차피 무한인데' 라니, 전혀 수학적이지 
않잖아요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
아까, 속는 것 같은 기분이 든다고 했지?
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
예.
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
그 말이 맞아.&nbsp; 중학교 2학년(8-가 단계)에서는 모든 것을 
가르쳐 주지 않고 슬쩍 지나가는 것이 있지.&nbsp; 그것 때문에 뭔가 
속는 것 같은 느낌이 드는 거고.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
그게 뭔데요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
'…' 
의 의미.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
예? '…' 
의 의미?&nbsp; 그 '…' 
이 문제의 핵심이라는 건가요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
맞아.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
하지만 그건, 9 라는 숫자가 무한히 계속 나온다는 뜻 아닌가요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
무한히 계속 나온다고? 전혀 수학적이지 않잖아?&nbsp; 그게 정확히 
무슨 뜻이지?
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
오호…
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
무한이라는 것은 수학에서 매우 조심스럽게 사용해야 할 개념이야.&nbsp; 
적어도 보통의 수처럼 자유롭게 다룰 수는 없지.&nbsp; 
예를 들어 무한 개에서 무한 개를 빼면 몇 개인가?&nbsp; 
무한대를 무한대로 나누면?&nbsp; 이처럼, 무한이 관련된 
것은 정확히 정의하지 않으면 모순이나 혼란에 빠지게 돼.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
정의를 잘 한다고 그런 모순이나 혼란이 없어질까요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
모순과 혼란이 없이 무한에 관련된 것들을 정의하다 보면 그 정의라는 것이 상식에서 벗어나기도 하고, 매우 먼 길을 돌아서 가야 하기도 
하지.&nbsp; 예를 들면 '무한집합' 이라는 것이 있지?&nbsp; 그 정의가 무엇이라고 생각하니?
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
원소의 개수가 무한인 집합.
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
라고 하는 것이 상식에는 맞지. 하지만 수학적인 정의는 그게 아니야.&nbsp; 
자기 자신과, 그것의 어떤 진부분집합 사이에 일대일 대응이 존재하는 그런 집합을 무한집합이라고 하지.&nbsp; 예를 들어 정수의 집합과 자연수의 집합 사이에 일대일 대응이 존재하기 
때문에 정수의 집합을 무한집합이라고 하지.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
무엇 때문에 그런 해괴한 짓을?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
말했잖니.&nbsp; 모순이나 혼란이 없도록 하기 위해서라고.&nbsp; 무한집합을 '원소가 무한 개인 집합' 이라고 하면 그 정의 자체에 
무한이라는 말이 들어가 있기 때문에 사실 무한의 개념을 어물쩍 넘어가 버린 것이야.&nbsp; 마치 0.99999… 
의 '…' 
부분을 9가 무한히 반복된다는 뜻이다 하고 넘어가 버린 것처럼.&nbsp; 
그런 식으로 계속 나가면 나중에 낭패가 되기 십상이지.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
그렇다면 본론으로 돌아가서, 0.99999… 
의 '…' 
은 무슨 뜻인가요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
0.99999… 
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …&nbsp;&nbsp; 이것이 0.99999… 의 
정의야.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
0.99999… 는 
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …&nbsp; 를 줄여서 쓴 것이다?&nbsp; 그런데 나중 식도 역시 그런 식으로 무한히 더한다는 뜻 
아닌가요?&nbsp; 그럼 마찬가진데.
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
물론 그렇지.&nbsp; 하지만 나중 식은 ‘무한급수’ 라는 것이고, 그 
값(합)은 수학적으로 정의되지.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
무한급수라면, 고등학교 수학I 에 나오는…
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
그래.&nbsp; 무한급수의 합은 결국 부분합의 수열의 극한, 여기서는 
수열 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … 의 극한이고, 그 극한은 1 이지.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
휴, 드디어 1 이 나왔나?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
그렇지. 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … 의 극한이 1 이라는 사실을 0.99999… = 1 이라고 쓰는 
거야.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
어떤 사람들은 0.99999… 는 ‘아직 완성이 안되었으므로’ 1 이 될 수 없다고 하더군요.&nbsp; 근사값일 뿐이라고 하기도 하고.
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님:&nbsp;‘…’ 
의 의미를 모르면 그럴 만하지.&nbsp; 하지만 이미 말했다시피 ‘…’ 
은 결국 어떤 수열의 극한을 뜻하는 기호이고, 이 경우 그 극한값은 정확히 1 이야.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
그런데, 수열의 극한의 개념은 수학적으로 정확한 것인가요?&nbsp; 어떤 
값에 ‘계속 가까워진다’ 같은 표현은…
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
좋은 질문이야. 수열의 극한을 정의할 때 ‘한없이 가까워진다’ 는 식으로 말하는 것 역시 무엇인가 두리뭉술하게 넘어가고 있는 거야.&nbsp; 그렇게 넘어가는 이유는 극한을 정의할 때 쓰이는 ‘엡실론-델타(ε-δ) 
논법’ 이라는 것이 고등학교 교과서에는 맞지 않기 때문이고.
 &nbsp;
따짐이: 
엡실론-델타 논법? 어디서 들어본 것 같기도 한데요?
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
무한히 많다, 무한히 가까워진다는 등의 애매한 표현을 쓰지 않아도 되도록 해 주는 아주 중요한 개념이고, 좀 더 높은 수준의 수학을 공부하기 
위해서는 반드시 알아야 할 내용이야.&nbsp; 일단 이해하면 아주 
유용하고 재미있지만, 그렇게 될 때까지는 쉽지 않은 과정을 거쳐야만 하지.
 &nbsp;<o:p></o:p>
따짐이: 
결국, 무한소수 하나를 제대로 이해하려고 해도 대학까지 가야 한다는 말이군요.
 &nbsp;<o:p></o:p>
선생님: 
그래.&nbsp; 그래서 학교에서는 어느 정도 적당히 넘어가는 일이 
많아.&nbsp; 엄밀한 수학적 증명 같은 것보다 그 내용을 알거나 
응용하는 것이 중요할 수도 있기 때문에. 하지만 자세히 살펴보면 수학만 그런 것도 아니야.&nbsp; 수학에서는 서로 다른 내용들 사이의 관계가 매우 중요하기 때문에 
두드러지는 것이고, 학교에서 한정된 시간 안에 사회가 요구하는 수준의 공부를 하다 보면 어떤 과목에서건 그런 일은 당연히 일어난다고 
봐야겠지.

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