수학사랑쇼핑몰

HOME >수학이야기>송영준의 수학따지기

왜 1은 2보다 작은가

Posted at 2011-11-28 16:17:55

<img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322465096.jpg">&nbsp; 
이 글은 저널 '수학사랑' 57호(2006년 7/8월호)에 실렸던 필자의 글을 조금 고친 
것입니다.
&nbsp;
따짐이: 선생님, 고등학교 1학년(수학10-가) 교과서에 실수의 
대소관계에 대해서 나와 있는데요.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그렇지.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 대체 무슨 이유로 그렇게 써 놓았는지 이해가 잘 
안되거든요.<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;뭐라고 써 
있더라?
<o:p><img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322464335.jpg"></o:p><o:p>
선생님: &nbsp;그런데?
<o:p><img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322464405.jpg"></o:p>
<o:p>선생님: &nbsp;음... 그게 좀 문제가 있는 표현이긴 
하지.</o:p><o:p>
따짐이: 저는 이 문장들로, 예를 들어
<OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=43 
align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="1137"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/9.7`4.3/12,[1]{a`gt`b}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>라는 표현의 뜻을 정의하고 
있다고 생각하는데요.&nbsp; 다시 말해서 위 문장들을 가지고 부등호(&gt;, &lt;)의 뜻을 정의하고 있다고 이해했는데, 
맞나요?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;맞아.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그런데 부등호의 뜻을 정의하는 말 속에 다시 부등호가 
등장할 수도 있는 건가요?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;아니지.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 아니지라뇨?&nbsp; 그럼 교과서가 잘못됐다는 것을 
인정하시는 건가요?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;꼭... 그렇지만은 
않아.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 물론 그렇겠죠. 하지만 어떻게 된 일인지 알려 주시면 
좋겠는데요.<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;실수의 대소를 어떻게 정할 수 
있을까?&nbsp; 예를 들어 1은 2보다 작은데 어떤 근거로 그렇게 말할 수 있을까?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 수직선에 1이 더 왼쪽에 찍히... 는 것을 근거로 할 
수는 물론 없겠고...&nbsp; 그냥 원래부터 정해져 있는 것 아닌가요?<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;그 무수히 많은 것들이 서로서로 어느 것이 
큰지 일일이 정해 놓을 수는 없지.&nbsp; 단, 자연수의 경우는 일일이 정했다고 할 수 있어.&nbsp; 1의 다음 수가 2, 2의 다음 수 
가 3 등등으로 수 자체가 차례로 정의되기 때문에 그 순서로 점점 커진다고 하면 되니까.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 오호, 그렇다면 자연수를 발판으로 해서 정해 나가면 
되겠네요.&nbsp; 정수의 대소는, 음... 양의 정수끼리는 자연수의 대소를 그대로 따르고, 음의 정수끼리는 부호를 바꾼 다음 비교한 것의 
대소와 반대인 것으로 정하고, 부호가 다른 것을 비교하면 항상 음의정수, 0, 양의 정수 순서인 것으로 
하면...<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;그렇지!&nbsp; 바로 그렇게 
하지.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그리고, 유리수의 경우는... 에... 그렇지. 유리수는 
분수로 나타낼 수 있으니까 두 유리수를 비교하려면 통분한 뒤에 분자를 비교하면 되겠군요.&nbsp; 분자는 
정수이니까.<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;옳지.&nbsp; 아주 
좋아.<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 그러면 실수는?&nbsp; 그런데 실수가 
뭐지?<o:p></o:p>
&nbsp;
<o:p>선생님: &nbsp;그래. 실수가 무엇인지에 대한 정확한 정의, 다시 말해 유리수로부터 실수를 
만들어 내는 것은 대학 수준으로 올라가는데, 쉽지 않은 일이지.&nbsp; 그래서 실수가 무엇인지 정확히 정의하지 않고 대소관계를 정의하기 위해 
네가 아주 좋다고 한 그 두 문장을 증명 없이 받아들이는 것이지.&nbsp;</o:p>
<o:p><img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322464798.jpg"></o:p>
<o:p><img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322464884.jpg"></o:p>
<o:p>이 두 명제는 ‘순서의 공리’ 라고 불러.</o:p>
<o:p></o:p>&nbsp;<o:p><o:p>
따짐이: 하지만 정의되지도 않은 부등호가 이미 사용되고 
있는데요?<o:p></o:p>
<img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322465132.jpg">
<img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322465169.jpg">
선생님: 
&nbsp;그래.&nbsp; 교과서란 항상 그런 어려움이 있지.&nbsp; 그것으로 공부하는 학생들의 수준에 맞추어야 
한다는...
<o:p></o:p>&nbsp;
<o:p><img onLoad='miniSelfResize(contents_25,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322465271.jpg"></o:p>
선생님: &nbsp;그래.&nbsp; 그렇게 생각해 주면 교과서가 틀렸다고 
말할 것까지는 없겠지.&nbsp; 그럼, 실수로서의 1이 2보다 작다고 말하는 근거는 무엇인지 이제 
알겠니?<o:p></o:p>
&nbsp;
따짐이: 1-2 가 ‘음수’ 
이니까!<o:p></o:p>
&nbsp;
선생님: &nbsp;그래.&nbsp; 그렇게 생각하면 두 실수의 대소를 
비교하는 문제를 풀 때 좌변의 수에서 우변의 수를 빼어 부호를 조사하는 것도, 단순히 그게 쉽기 때문이라기보다는 부등호의 정의에 따라 하는 
일이라고 볼 수 
있지.<o:p></o:p></o:p></o:p></o:p></o:p>

Total 29 Articles, 1 of 2 Pages

29	왜 식끼리 계산하는가?	2012-01-19	8168

28	왜 별 모양의 다각형은 교과서에 없는가	2011-12-05	5713

27	왜 부등식의 성질은 등식의 성질과 다른가	2011-11-28	2976

26	왜 음수 곱하기 음수는 양수인가?	2011-11-28	4941

25	왜 함수를 그렇게 정의하는가?	2011-11-28	3524

24	왜 한 번의 증명으로 모든 경우를 증명할 수 있는가	2011-11-28	2548

23	왜 1은 2보다 작은가	2011-11-28	4208

22	어떻게 하면 수학을 배우고 싶어할 수 있는가?	2011-11-28	3825

21	왜 확률과 통계를 같이 배우는가	2011-11-28	2938

20	왜 사교육이 문제라고 하는가?	2011-11-28	3447

19	왜 교집합, 합집합이 중요한가?	2011-11-28	2633

18	컴퓨터는 어떻게 모든 자료를 수로 나타내는가?	2011-11-28	2624

17	왜 구구단을 외우는가?	2011-11-28	3316

16	어떻게 해야 수학 공부를 잘 할 수 있는가?	2011-11-28	3841

15	왜 무리수를 사용하는가?	2011-11-28	2845

14	왜 호도법(라디안)을 사용하는가?	2011-11-28	3796

13	왜 0이 중요한가? (2)	2011-11-28	2536

12	왜 0이 중요한가? (1)	2011-11-28	2987

11	왜 0.999999… = 1 인가?	2011-11-28	4125

10	왜 사람들은 수식을 두려워하는가?	2011-11-28	2887

1 [2]

제목 내용

ㆍ총구매액	0 원
ㆍ적립금	0 원
ㆍ할인쿠폰	0 원

ㆍ장바구니	0 개
ㆍ위시리스트	0 개