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모저의 원 문제(Moser's circle problem)

FILE : 모저의 원문제 정답[090831].hwp (80KB)

Posted at 2011-11-28 19:23:35

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이번 여름에는 방학을 하자마자 가족들과 피서를 다녀왔다. 인제군 용대리에 있는 백담사 만해마을 이란 곳에서 시원함을 맘껏 느꼈다. 그 앞 
계곡에서 수학책을 읽던 중 재미있는 문제가 눈에 들어왔다. [원을 하나 
그린 후, 원 위에 점 두 개를 찍어 직선으로 연결한다. 그러면 원이 2개의 영역으로 나누어진다. 3개의 점을 찍은 후, 두 점끼리 
직선으로 모두 연결시킨다. 그러면, 4개의 영역으로 나누어진다. 점을 4개 찍으면, 8개의 영역으로 나누어진다. 이제 일 때 16개의 영역이 
만들어진다고 예측할 수 있다. 그리고 실제로 그렇게 된다. 이제 일 때, 32 개의 영역이 만들어지리라는 믿음에는 의심할 여지가 없을 것이다. 
그러나 그렇지 않다. 정답은 31개이다.]
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border=0 hspace=0 alt="" align=baseline 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/i090801281_090801-2.jpg">&nbsp;<img onLoad='miniSelfResize(contents_43,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
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책에서 틀린 것을 찾았다. 다행이 책에는 이 문제가 모저의 원 문제(Moser's circle problem) 이라는 참고가 나온다. 
인터넷에 검색하니 일반해가 나온다. 하나의 오자가 나왔을 뿐이다. 이 문제를 보니 수열 시간에 풀었던 문제가 생각났다. 문제 1이다. 이와 
관련하여 다음 문제들을 풀어 보자.
 문제1. <img onLoad='miniSelfResize(contents_43,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322475633.jpg">
&nbsp; 문제2. 
 원 위에 점이 4개 있으면 그 점들을 이어서 사각형을 하나 그릴 수 있다. 이 사각형에서 그을 수 있는 대각선의 수는 
2개이고, 그 교점은 한 개이다. 또, 점이 5개 있으면 오각형을 그릴 수 있고, 오각형의 대각선은 5개이고 그 교점의 수는 5개이다. 
 그러면 원 위에 점이n개 있을 때, 그려지는n각형의 대각선의 교점의 최대 개수를 구하여라. (단,n≥4이다.) 
&nbsp;
문제3. 원 
위에n개의 점이 있다. 이들을 연결하는 선분으로 나누어지는 영역의 최대 개수를 구하여라. 모저의 원 문제( Moser's circle 
problem) 
참고자료 1. 데이비드, 황선욱 옮김, 수학세상 가볍게 읽기, 한승, 2007, (29쪽-30쪽) 2. 
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href="http://mathworld.wolfram.com/MosersCircleProblem.html">http://mathworld.wolfram.com/MosersCircleProblem.html</A> </DIV></TD></TR></TBODY></TABLE></TD></TR>
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