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왜 0으로 나누면 안 되는가?

Posted at 2011-11-28 09:37:30

&nbsp; 
이 글은 저널 ‘수학사랑’ 47호(2004년 11/12월호)에 실렸던 필자의 글을 조금 고친 
것입니다.
 따짐이: 1 나누기 0 은 뭐죠? 선생님: 정의하지 않지.&nbsp; 너도 알지 않니? 따짐이: 전 그게 불만이거든요.&nbsp; 왜 다른 수끼리는 다 나누기가 되고, 0 을 
다른 수로 나누는 것도 되는데, 0 으로 나누기는 안 되냐고요.&nbsp; 수학에서 그런 예외가 있으면 안 되는 것 
아닌가요? 선생님: 예외가 없는 것이 바람직하지만, 
이 경우는 어쩔 수 없다고 해야겠지.&nbsp; 나눗셈이라는 것이 원래 곱셈을 이용해서, 예를 들어 0×x=1 이 되는 수를&nbsp; 1÷0 이라고 불러야 할 텐데 그런 수가 
없으니까. 따짐이: ‘무한대’ 라고 하면 되지 
않나요?&nbsp; 0 을 무한히 많이 더하면 1 이 된다, 뭐 이런 식으로 말하는 것을 본 것도 같아요. 선생님: 그래서, 어쩔 건데? 따짐이: 한 번 생각해 보죠.&nbsp; 1÷0&nbsp; 즉 0 의 역수를 무한대라 
부르고 그것을 ∞ 라 쓰기로 하죠.&nbsp; 그리고 나서 다음과 같이 정의하면&nbsp; 를 수로 봐도 되지 않을까요?&nbsp; 임의의 수 
a 에 대해서,
&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_7,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322440296.jpg">
&nbsp;선생님: 음...&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_7,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322440461.jpg">은 상식과는 좀 거리가 
있네? <img onLoad='miniSelfResize(contents_7,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322440507.jpg"> 
따짐이: 
헉!&nbsp; 그건 미처 생각을... 선생님: 
정의가 안 되는 계산을 없애려고&nbsp;
<OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=17 
align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="449"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/4`4.3/12,[1]{inf}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>를 도입했는데, 정의하기 곤란한 것이 이번에는 한 개가 아니라 두 
개나 생기고, 방정식 같은 것에 대해 지금까지 알고 있던 지식에 혼란을 가져온다면, 그것이 꼭 필요할 경우에나 도입해야 하지 
않을까? 따짐이: 그렇군요.&nbsp; 수학자들이 한 
일에는 이유가 있었네요. 선생님: 그렇지.&nbsp; 
물론 수학 책에 나온 것들을 비판 없이 무조건 받아들이는 것이 바람직한 태도는 아니야.&nbsp; 항상 ‘왜 이랬지?’ 하는 비판적인 태도를 
갖고 있어야 그 대상에 대해 더 깊이 생각하고, 그래서 더 잘 이해할 수 있으니까.&nbsp; 하지만 언제나 자기가 틀렸음을 인정할 수 있다는 
태도 역시 무엇을 배우기 위해서는 꼭 필요하지.&nbsp; 방금 전의 너처럼 말이야. 따짐이: 그런데, 전에 신문에 어떤 교수님이 쓴 글을 본 적이 있는데요1),&nbsp; ‘리프트를 타고 올라가는데 속력이 5km/h라면, 스키를 얼마의 속력으로 타고 내려와야 평균속력이 
10km/h 가 되느냐’ 하는 문제에 대해 ‘무한대의 속력으로 내려오기 전에는 평균속력이 10km/h 가 될 수 없다.’ 고 
했거든요.&nbsp; 여기서 무한대라는 말은 아까 제가 말했던 의미로 사용된 것이 아닌가요? 선생님: 그 문제의 경우, ‘그렇게 할 수 없다’ 가 맞는 답이지.&nbsp; 하지만 
내려오는 속력을 100, 1000, 10000 등등으로 올리면 올릴수록 평균속력은 10km/h 에 접근하기 때문에 ‘속력이 무한대가 되면, 
평균속력이 10km/h 가 된다’ 고 말하기도 하지.&nbsp; 특히 물리학 같은 곳에서 무한대라는 가상의 개념을 써서 편리하게 이론을 전개할 
수 있는 경우가 있어.&nbsp; 이 문제의 경우처럼 말이야. 따짐이: 자연스럽게 극한의 개념이 나오는 것 같네요. 선생님: 그렇지.&nbsp; 수학에서 무한대라는 말은 주로 극한에서 사용되는데, 어떤 값이 
무한대로 간다거나 극한이 무한대라는 말은 한계가 없이 계속 커진다는 말을 편리하게 한 것일 뿐이야.&nbsp; 
다만... 따짐이: 
다만? 선생님: 무한대를 도입하는 것이 매우 편리해질 
때는 도입하기도 하지. 따짐이: 그럼, 제가 아까 
말했던 ∞ 처럼 무한대가 수처럼 쓰일 때도 있다는 말씀? 선생님: 그렇지.&nbsp; 하지만 연산에 초점을 두면 아까와 같이 장점보다는 단점이 
두드러지게 되어 별로 유용하지 않고, 주로 기하학적인 성질과 관련하여 도입하게 되지.&nbsp; 다시 말해서 ∞ 는 수로서라기보다는 점으로서의 
성질이 중요하게 취급되는 경우가 많아. 따짐이: 
무한대를 수직선 위에 찍는다는 말인가요?
&nbsp;
<img onLoad='miniSelfResize(contents_7,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322440584.jpg">
선생님: 
수직선 위에 한 점으로 무한대를 찍을 수는 없고, 주로 수직선을 한 점이 빠진 원과 일대일 대응시키고, 그 빠진 한 점을 무한대로 채워서 원을 
완성시키는 형태가 되지(그림).&nbsp; 복소평면의 경우도 무한대라는 한 점을 추가하면 구면과 일대일 대응시킬 수 있어(Riemann 
sphere).&nbsp; 그 경우 무한대는, 적어도 기하학적(위상적)으로는 다른 수들과 평등하게 취급되지. 따짐이: 정말, 무한대만 나오면 뭔가 이해하기 어려운 일이 일어나는 것 
같아요.&nbsp; 왜 그럴까요? 선생님: 무한이라는 
것을 상식이나 직관으로 이해할 수 있게 하면서 동시에 수학적 엄밀성을 주는 것은 어려운 것 같아.&nbsp; 나중에 더 자세히 이야기 
하자. 
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1) 이하의 문제 제기는 수학사랑 웹사이트의 수학 Q&amp;A 코너에서 있었던 문답의 
내용을 정리한 FAQ문서의 내용으로 재구성하였다. <A hideFocus style="selector-dummy: true" 
href="http://www.mathlove.org/pds/mathqa/faq/zero/zero13.html" 
target=new>http://www.mathlove.org/pds/mathqa/faq/zero/zero13.html</A> 참조.
&nbsp;
송영준(도봉고등학교 수학교사) 
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