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도형이란 무엇인가?

Posted at 2011-11-25 11:16:55

이 글은 저널 ‘수학사랑’ 46호(2004년 9/10월호)에 실렸던 저의 글을 조금 고친 것입니다. 

&nbsp;
 따짐이: 도형이 뭐죠? 
선생님: 뭐라고 생각하지? 
 따짐이: 선분, 직선, 원, 삼각형, 사각형 같은 것들... 
 선생님: 그런 것들만? 
 따짐이: 포물선이나 타원 같은 것도 도형이라고 하죠. 
 선생님: 그렇게 이름 붙은 것들만 도형인가? 예를 들어 삼각형 두 개가 맞붙어 있는 모양이라든지 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 또는 서로 떨어져 
있는 원과 선분, 이런 것을 ‘하나의’ 도형이라고 할 수 있을까? 
 따짐이: 그런 것은 두 개의 도형이 아닐까요? 선생님: 그래? 원래 삼각형이란 것도 선분 세 개가 모인 것 아닌가? 
 따짐이: 그, 그렇죠. 선생님: 선분 세 개를 모아 놓고 ‘삼각형’ 이라고 이름 붙이니까 하나의 도형이 
되었다면,
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; 삼각형 두 개를 모아 놓고 
예를 들어 ‘겹삼각형’ 이라고 이름 붙이면 그것도 하나
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 의 도형이 되는 
것이 아닐까? 따짐이: 하지만 선분이라는 것도... 선생님: 것도? 따짐이: 선분이라는 것도 결국 
점이 모여서 된 것이잖아요? 선생님: 물론이지. 따짐이: 그럼... 어떻게 되는 거지? 어차피 삼각형이건 
겹삼각형이건, 무슨 모양이건 점들이 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 모여서 되는 
건데... 그렇게 보면 그것들 사이에 별 차이가 없네요. 선생님: 그렇지. 그러면, 도형이라는 것은 무엇일까? 아니, 무엇을 
도형이라고 불러야 일관성이 있을까? 따짐이: 음... 점들의 집합은 모두 도형이라 부른다? 선생님: 정답입니다! 
 따짐이: 굉장히 허무하네요. 선생님: 그렇긴 하지. 하지만 나는 그래서 수학이 좋아. 따짐이: 왜요? 
선생님 자신이 허무하니까? 선생님: 까부냐? 그렇게 허무한 말들을 모아서 위대한 것들을 밝혀내는 것이 수학의 매력 중에 
하나야.&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 어쨌든, 도형이라는 
말이 점들의 집합을 말하는 것에 불과하다는 것을 염두에 두면 많은 것들을 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 일관성 있게 이해할 
수 있지. 따짐이: 예를 들면요? 선생님: 함수의 그래프는 도형이지. 따짐이: 함수의 그래프는 
도형이다... 즉, 점들의 집합이다... 그래서요? 선생님: 예를 들어 이차함수&nbsp;&nbsp;<img onLoad='miniSelfResize(contents_6,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322437824.jpg">&nbsp;의 그래프는 포물선이 된다. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 그런데 그 포물선은 
무엇으로 이루어져 있다? 따짐이: 점들로 이루어져 있다. 선생님: 그렇지!&nbsp; 점들로 이루어져 있다. 그 
점들이 어떤 점들이지? 
따짐이: 그, 그러니까...&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_6,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322437908.jpg">&nbsp;이 되는 순서쌍 (x,y) 를 
좌표로 하는 점들... 
&nbsp;
선생님: 네가 지금 방금 말한 것이 얼마나 중요한 것인지 알고 있니? 따짐이: 예? 얼마나 중요한데요? 
 선생님: 그 문장은 식1)과 그래프(도형)을 연결시켜 주는 기본 원리야. 
&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; 어떤 순서쌍이 식을 
만족한다는 것과 그 순서쌍을 좌표로 가지는 점이 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 그래프 위의 점(즉, 
그래프라는 도형의 원소)이라는 것이 동치가 되도록 그래프라는 것이 정의가 되어 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 있는데, 수학에서 
이것은 거의 항상 마찬가지야.&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 부등식의 영역도 
부등식의 그래프라고 불러도 되는 것을 좀 다르게 부르는 것 뿐이지.&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_6,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322438070.jpg">
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
그림 1) 식과 그래프의 관계
따짐이: 그렇게 그래프를 정의해서 무엇을 하려는 거지요? 선생님: 너도 잘 알지 않니. 식으로 못하는 일을 도형으로 하거나, 
도형으로 못하는 일을식으로 하려는 것이지. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;자세한 건 
나중에 이야기하기로 하고, 어쨌든 모든 도형은 점들의 집합이라는 것은 항상 염두에 둘 만
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;하지. 
예를 들어 삼각형 ABC 는 어떤&nbsp;점들의 집합일까? 따짐이: 그건 세 선분 AB, BC, CA 의 합집합인데요. 
 선생님: 그렇지, 그럼 선분 AB 는 어떤 점들의 집합일까? 따짐이: 두 점 A 와 B ‘사이에 있는’ 점들의 
집합. 선생님: 아주 좋아. 단지, 사이에 있는 점들만으로는 A 와 B 자체는 빠져버리니까 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; A 와 B 도 선분 
AB 라는 집합에 넣어 줘야겠지. 따짐이: 그렇군요... 그러고 보니 원의 정의도, ‘한 점으로부터의 거리가 일정한 점들의 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 집합’ 이라고 
교과서에 나와 있었어요. 선생님: 바로 그거야. 교과서에는 원이나 삼각형 같은 기하학적인 도형, 함수의 그래프 같은 것이 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;어떠어떠한 
점의 집합이라는 것을 말해 주는 내용이 사실은 많이 있는데, 이런 기본 원리에 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;해당하는 
것은 문제 풀이에 직접 사용이 되지 않아서 그러는지 나중에는 잘 모르는 학생이 많은 것 같
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;더라. 
하지만 그것 하나를 확실히 이해함으로써 많은 것들을 일관성 있게 이해할 수 있다는 점에서 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;이런 기본 
원리는 수학 공부에서 매우 중요한 것이라고 할 수 있지. 
-----------------------------------------------------------------------------------------------
&nbsp;&nbsp;&nbsp;1) 더 정확히는 관계(relation)라고 해야 한다.
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
송영준(도봉고등학교 교사)
&nbsp;
 &nbsp;

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