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왜 교집합, 합집합이 중요한가?

Posted at 2011-11-28 16:08:08

<DIV class=board>
이 글은 저널 '수학사랑' 55호(2006년 3/4월호)에 실렸던 필자의 글을 조금 고친 
것입니다.
&nbsp;
<?xml:namespace prefix = o ns = 
"urn:schemas-microsoft-com:office:office" 
/><o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 선생님, 중학교하고 고등학교에서 
집합을 배우죠?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그렇지. 중학교 1학년(7-가 
단계)에 간단히 나오고, 고등학교 1학년(10-가 단계)에서 좀 더 자세히 나오지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그 단원에서 제일 핵심적인 
용어를 찾는다면 무엇일까요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 글쎄, 아마 교집합, 
합집합이라는 용어가 아닐까?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 바로 
그거거든요.&nbsp; 제가 그 단원들 배우고 나서 
생각해 보니까 결국 교집합, 합집합에 대한 얘기인 것 같아요.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 
그런데?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그게 그렇게 중요한 
내용인가요?&nbsp; 다른 곳에 별로 응용되는 것 
같지도 않던데.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그래도 도형의 교점이라든가, 
연립방정식이나 연립부등식의 해 같은 것은 교집합을 가지고 일관성 있게 설명할 수 있지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그건 그렇지만, 분배법칙이나 
드모르간의 법칙같은 복잡한 내용까지 공부하는 것은 응용하고는 좀 거리가 있는 것 아닐까요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 좀 그런 면이 
있지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그럼 왜 교집합, 합집합이라는 
용어(개념)가 그렇게 중요하게 다루어지는지 말씀해 주시면 안 될까요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그것들이 
연산(operation)이기 때문이라고 볼 수 있지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 연산?&nbsp; 사칙연산 
같은?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그렇지.&nbsp; 
사칙연산은 수에 대한 연산이고, 교집합을 구하는 ∩<?xml:namespace prefix = v ns = 
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joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f 
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eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f 
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eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f 
eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f 
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eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:extrusionok="f" 
gradientshapeok="t" o:c></v:path><o:lock v:ext="edit" 
aspectratio="t"></o:lock></v:shapetype>, 합집합을 구하는 
∪은 집합에 대한 연산이니까.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 저는 연산이란 말을 막연히 계산 
같은 것이라고 생각하고 있었는데요.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 뭐, 교집합이나 합집합을 구하는 
것도 계산이라고 볼 수도 있겠지.&nbsp; 집합 두 개로부터 새로운 집합을 
구하는 일이니까.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 선생님 말씀을 듣고 있다 보면 
알고 있던 것도 헷갈려요.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 글쎄, 아마 정확하게 알고 있지 
않았기 때문이겠지.&nbsp; 물론 그것은 네가 공부를 제대로 
안 했다는 것이 아니야.&nbsp; 학교에서는 수학 개념들을 
정확하게 알려주기 어려울 때가 많아서 그런 거지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 
왜요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 왜 정확하게 알려주기 
어렵냐고?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 
예.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그건 내가 항상 말했듯이, 
하나의 수학 개념에 연결된 것들이 하도 많아서 배우는 과정에서는 정확히 말해 줄 수 없고 두루뭉술하게 넘어가야 할 때가 많기 
때문이야.&nbsp; 일단 따로따로 배우고 나서 
나중에 연결시켜 생각하는 것이지.&nbsp; 장님이 코끼리에 대해서 알려면 
일단 다리, 코, 귀, 몸통, 꼬리를 따로따로 만져 보고 나중에 연결시켜 생각해야 하는 것과 마찬가지로.&nbsp; 그런데 물어 본 게 
이거였나?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 아니요.&nbsp; 왜 교집합, 합집합이라는 
용어(개념)가 그렇게 중요하게 다루어지는지...
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그것들이 
연산(operation)이기 때문이라고 볼...
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그 말씀은 아까도 하셨고요, 
연산이 무엇인지 정확히 잘 몰라서요.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 아 
그렇지.&nbsp; 연산이란, 어떤 대상 두 
개로부터 같은 종류의 새로운 대상 한 개를 만드는 과정이라고 보면 돼.&nbsp; 수학적으로는 하나의 연산은 그 
자체가 하나의 함수로 정의되지만, 그건 나중에 생각해도 될 것 같고.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그러니까, 덧셈이나 곱셈은 두 
개의 수로부터 하나의 수를 만들어내는 것이니까 수의 연산이고, 교집합이나 합집합은 두 개의 집합을 가지고 하나의 집합을 만들어내는 것이니까 
집합의 연산이다 이거군요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그래, 바로 
그렇지.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그런데 연산이면 다 중요한 
것인가요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 어떤 수학적 대상을 공부할 때 
그것들 사이의 연산을 공부하는 것은 매우 중요한 일이야.&nbsp; 한정된 것에서 출발해서 계속 
새로운 대상을 만들어갈 수 있는 방법이니까.&nbsp; 예를 들어 단원의 이름이 정수, 
유리수, 실수, 복소수 등으로 되어 있어도 실제로 공부하는 것은 결국 그것들 사이의 연산이지 않니?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그런데 수학에서 배우는 대상은 
수와 집합 말고도 많이 있잖아요? 예를 들어 함수, 도형 같은 것에는 연산이 없는 것 아닌가요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 함수와 
도형?&nbsp; 거기에도 다 연산이 
있는데?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 
예?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 두 개의 함수를 가지고 새로운 
함수를 만들 수 있지 않니?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 음... 
두 함수 f , g 가 있을 
때&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_21,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322464076.jpg">로 
정의되는 함수... 뭐 이런 거요?
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 그것도 그렇고, 고등학교 
1학년(10-나 단계)에서 나오는 합성함수 같은 것은 바로 연산의 개념을 염두에 두고 나온 내용이야.
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 엇, 
그러고 보니... 항등함수는 연산 ㅇ 의 항등원, 역함수는 역원에 해당하는 
것이군요.&nbsp; 용어까지 비슷한데 
몰랐네.
&nbsp;
선생님: 도형에서 생각해 본다면, 점들을 
대상으로 하는 연산으로 두 점의 x 좌표끼리 더하고 y 좌표끼리 더하는 연산이 있을 수 있지.&nbsp; 그럴 때는 점을 
‘벡터’ 라고 그럴싸하게 부르지만 결국 벡터는 점에다가 덧셈이라는 연산(그리고 스칼라배라는 다른 종류의 조작 - 이것도 
‘단항’ 연산이라 부르기도 함)을 할 수 있게 한 것에 불과해.&nbsp; 그뿐이냐?&nbsp; 두 개의 명제로부터 새로운 
명제를 만드는 ‘그리고(AND)’, ‘또는(OR)’, ‘... 
이면 ... 이다(→)’ 같은 것도 연산이지 않니?
<o:p></o:p>&nbsp;
따짐이: 그렇군요.&nbsp; 그러고 보니 연산들 사이에는 
뭔가 통하는 점이 있는 것 같기도 해요.&nbsp; 각각의 연산들을 다른 용어를 
써서 따로따로 배웠지만, 결합법칙 같은 것이라든지, 항등원, 역원 개념 같은 것...&nbsp; 어떤 수학적 대상들을 배우면서 
그것들 사이의 연산에 주목하면 재미있겠네요.&nbsp; 서로 다른 대상들을 연산이라는 
관점에서 일관성 있게 생각할 수도 있을 것 같고.
<o:p></o:p>&nbsp;
선생님: 아까도 말했듯이, 장님이 
코끼리를 만져보듯이 어느 정도 이것저것 배우고 나면 그것들을 통합해서 생각하려는 노력을 해야 해.&nbsp; 기둥같이 생긴 다리와 뱀같이 
생긴 코, 벽같이 생긴 몸통 등으로 따로따로 나누어져 있는 것으로 코끼리를 파악해서는 안 되지.&nbsp; 지금까지 배운 것을 돌아보면서 
여러 단원을 꿰뚫는 통합적인 원리를 생각해 보는 것은 수학 공부를 할 때 꼭 필요한 자세라고 할 수 
있어.</DIV>

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