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| 자연수에서 합성수의 일반식을 찾았기에 검토를 요청합니다. |
윤영규 |
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Posted at 2008-11-04 16:34:06
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안녕하세요. 수학사랑 회원에 가입한 윤영규입니다. 여기에 글을 올리는 것은 본인이 알게된 수학내용에 대해 자문을 받기 위해서입니다. 지난 봄 2월 중순 경 본인이 '소수의 규칙성'에 관한 논문내용을 인터넷에 공개한 적이 있습니다. 당시의 논문내용에는 소수의 규칙성과 관련하여 본인이 제안한 소수관련 집합 속에 합성수들이 포함되어 있다는 점이 규칙성 측면에서 미해결 사항이었습니다.
그런데 지난 10월 중순 경, 합성수들 속에서 나타나는 규칙성을 알게 되어 내용을 검토하였고 이 곳에 자료를 올립니다. 아직 많은 분들의 검토를 받지 못한 상태이기 때문에 미흡한 점이 있을지도 모릅니다. 그러나 고등학교 수학을 사용하였기에 어려운 내용은 없습니다. 보시는 분들의 분석과 의견을 부탁드리겠습니다.
이번에 알게된 '합성수의 일반식'은 지난 2월에 제안한 '불확정 소수(아직 소수여부가 확정되지 않은소수)'들의 집합 S와 밀접합 연관성이 있기에 해당 집합 S가 설명되었던 '소수규칙 1'을 먼저 소개합니다. 아래의 '소수규칙 1'은 본인이 증명을 제안하기도 했지만, 그 당시 많은 분들이 '그것은 자명한 사실에 해당한다'라는 의견을 주셨습니다.
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** 기본 정의 : Z는 정수의 집합
기호 정의 : 3^5 => 3의 5제곱수를 의미
a_2, b_n => 각각 두번 째 a항과 n번째 b항을 의미
c[k]_n => k에 관한 합성수 집합 속의 합성수 c[k]의 n번째 원소
<소수 규칙 1>(intrinsic prime increase rule) n∈Z(n>0)이고, 임의의 정수 p(p>3)가 소수일 때, p를 원소로 하는 소수의 집합을 P라 하면 P는 다음과 같은 집합 S의 부분집합이다.
S = {5, 7, 11, 13, 17,…,3n+2-(1+(-1)^n)/2,…} (1)
* 위의 집합 S의 원소들은 '확정된 소수'가 아니라서 '불확정 소수'라는 이름을 붙였습니다. 집합 S는 특별한 것이 아니고 자연수 중에서 짝수와 3의 배수를 제외한 5이상의 홀수들의 집합을 말합니다.
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다음은 아래의 서술에서 사용한 기호들의 약속입니다.
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** 기호 정의
: 3^5 => 3의 5제곱수
a_2, b_n => 각각 두번 째 a항과 n번째 b항입니다
c[k]_n => k에 관한 합성수 집합 속의 합성수 c[k]의 n번째 원소입니다
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이번에 알게되어 제안하는 내용입니다.
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< 불확정 소수집합 S 속의 합성수들의 일반식 >
* 기본 조건
c,k,m,n ∈ Z (k>0,m>0,n>0,c>0)
c[k]_n ∈ S (S는 위의 (1)의 집합)
c[k]_n = (3k + 2-(1+(-1)^k)/2) * (3m + 2-(1+(-1)^m)/2) (단,k≤m)
1. k가 홀수인 경우
(1) n이 홀수일 때
c[k]_n = (3k+2)(3n+3k-1) (2)
(2) n이 짝수일 때
c[k]_n = (3k+2)(3n+3k-2) (3)
2. k가 짝수인 경우
(1) n이 홀수일 때
c[k]_n = (3k+1)(3n+3k-2) (4)
(2) n이 짝수일 때
c[k]_n = (3k+1)(3n+3k-1) (5)
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아래의 내용은 위의 합성수 일반식이 나오게 된 과정에 관한 것입니다.
위의 (1)의 집합 S는 첫째항이 5이고 증가폭 (+2),(+4)가 번갈아가며 반복적으로 나타나는 수열을 원소로 하는 집합입니다. n과 a가 양의정수일 때, 집합 S는 아래의(6)처럼 또는 원소들의 순서를 고려하여 (7)처럼 표시할 수 있습니다.
S = {5, 7, 11, 13, 17,…,3n+a(단,n이 홀수이면, a=2, n이 짝수이면 a=1)…} (6)
S = {a_1, a_2, a_3,…, a_n,…} (7)
위의 (6),(7)에서 집합 S의 n번째 원소 a_n은 다음
a_n = 3n+a (단,n이 홀수이면, a=2, n이 짝수이면 a=1)
의 관계가 있습니다.
위에서 (6)을 양의정수 k를 이용하여 나타내면 다음 (8)과 같습니다.
S = {5, 7, 11, 13, 17,…,3k+a(단,k가 홀수이면, a=2, k가 짝수이면 a=1)…} (8)
이제 합성수 일반식에 사용된 기호 c[k]_n(n∈Z,n>0)에 대해 설명하겠습니다. 먼저 c,b,g,k,m∈Z(k>0,m>0)이고 g가 불확정소수 집합 S의 원소라고 할 때, 만약 g가 합성수라면 g는 위 (7)의 집합 S의 원소 중 적당한 a_k, a_m 에 대하여 다음
g = a_k * a_m (a_k ≤ a_m)
와 같이 나타낼 수 있습니다. 여기서 a_k와 a_m은 S의 원소이므로 위 (1),(7)의 a_n의 경우처럼 다음
g = (3k + 2-(1+(-1)^k)/2) * (3m + 2-(1+(-1)^m)/2) (단,k≤m) (9)
와 같이 표시할 수 있습니다. 이와 같이 집합 S의 임의의 원소 g가 합성수이고 g가 (9)와 같이 표시될 때, g를 다음
g = c[k]_n (10)
와 같이 표기하기로 정의하였습니다. 여기서 c[k]_n의 첨자 n은 집합 S의 부분집합 중 합성수들의 유형별 분류집합에서 동일한 k를 가진 집합 내에서의 순서를 나타내는 번호입니다. 예를 들어, c[1]_1
=5×5, c[2]_2 =7×11, c[3]_5 = 11×23와 같습니다. 앞의 (9), (10)으로부터 c[k]_n은 다음
c[k]_n = (3k + 2-(1+(-1)^k)/2) * (3m + 2-(1+(-1)^m)/2) (단,k≤m) (11)
와 같이 표시할 수 있습니다.
이제 위의 합성수 일반식이 산출된 과정을 설명하겠습니다. 불확정 소수 집합 S 속에는 다양한 합성수들이 출현하는데 이러한 각각의 합성수인 원소들의 특징을 살펴보면, 각 원소들이 집합 S의 원소들 중에서 적당한 두 개의 원소를 선택하여, 두 원소의 곱으로 나타낸 것임을 보여주고 있습니다.
집합 S에서 발견되는 합성수들은 그 합성수를 구성하는 약수들이 또한 집합 S의 원소들이라는 특징을 가지고 있습니다. 집합 S 속의 임의의 합성수에 대해서 그 합성수를 두 개의 약수의 곱으로 표시한다고 전제할 때, 그 두 약수 중에서 작은 약수의 크기를 기준으로삼아서 오름차순으로 합성수들을 분류하면 다음과 같은 유형들로 나누어집니다.
<바로 아래 예시의 참조번호는 (12)입니다.>
H_1 => 5× 5, 5× 7, 5× 11, 5× 13, 5× 17, 5× 19, 5× 23, 5× 25, 5× 29
H_2 => 7× 7, 7× 11, 7× 13, 7× 17, 7× 19 7× 23, 7× 25, 7× 29
H_3 => 11× 11, 11× 13 11× 17, 11× 19, 11× 23, 11× 25, 11× 29
H_4 => 13× 13, 13× 17, 13× 19, 13× 23, 13× 25, 13× 29
H_5 => 17× 17, 17× 19, 17× 23, 17× 25, 17× 29
H_6 => 19× 19, 19× 23, 19× 25, 19× 29
H_7 => 23× 23, 23× 25, 23× 29
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여기에서 H는 집합 S의 원소들 중에서 합성수들로 구성된 집합을 의미합니다. 집합 H의 첫번째 원소는 집합 S의 원소들 중의 하나의 제곱수의 형태가 되는데 그 제곱수의 '밑'에 해당하는 수가 불확정 소수집합 S에서 차지하는 순서번호가 H_t(t∈Z,t>0)의 순번 t가 됩니다. 예를 들어 집합 H_1의 첫번째 원소 (5× 5)에서 5는 집합 S의 첫번
째 원소이므로 숫자 '1'을 갖게 되었습니다. H_3의 첫째 원소 (11× 11)는 11이 집합 S의 3번째 원소이므로 '3'번을 가집니다.
이제 위의 합성수 일반식에서 사용된 기호 c[k]_n과 합성수 집합 H_t와의 관계를 파악하면, 합성수 집합 H_t의 순번 t와 합성수의 일반식을 표현하는 c[k]_n 사이에 't =k'의 관계가 성립합니다. 예를 들어, 합성수 집합 H_1은 합성수 c[1]_n들로 구성된 집합이고, 합성수 집합 H_5는 합성수 c[5]_n들로 구성된 집합을 의미합니다. 여기서 c
[5]_n의 첨자 n이 뜻하는 것은 해당 합성수 집합 H_5 내부에서의 해당 합성수의 순서번호입니다. 예를 들어 c[5]_1은 17× 17이고 c[5]_3은 17× 23, c[3]_5는 11× 23를 나타내고 있습니다.
위에서 집합 H_1, H_2, H_3 등은 각각이 일정한 규칙을 가진 수열의 특징을 보여주고 있습니다. 각각의 수열 규칙을 정리하면 다음
H_1 => 제1항이 (5× 5)이고 증가폭 (+10),(+20)이 교차반복되는 수열
H_2 => 제1항이 (7× 7)이고 증가폭 (+28),(+14)이 교차반복되는 수열
H_3 => 제1항이 (11× 11)이고 증가폭 (+22),(+44)이 교차반복되는 수열
H_4 => 제1항이 (13× 13)이고 증가폭 (+52),(+26)이 교차반복되는 수열
H_5 => 제1항이 (17× 17)이고 증가폭 (+34),(+68)이 교차반복되는 수열
H_6 => 제1항이 (19× 19)이고 증가폭 (+76),(+38)이 교차반복되는 수열
H_7 => 제1항이 (23× 23)이고 증가폭 (+46),(+92)이 교차반복되는 수열
와 같습니다. 이것은 불확정 소수들의 집합인 집합 S의 수열 규칙, 즉, 증가폭 (+2),(+4)의 교차반복적 증가규칙과 동일한 유형의 증가형 수열에 해당한다고 할 수 있습니다. 합성수들의 집합 H_t들이 나타내는 수열적 특징을 일반화시킨 것이 위에서 제시한 합성수들의 일반식에 해당합니다.
이렇게 합성수 집합의 원소들이 나타내는 수열적 특징을 이용하여 합성수 일반식을 산출하는 방법이 있었는데 다음과 같이 합성수들의 개별적 순번을 이용하여 합성수 일반식을 산출하는 방법이 보다 효율적이라고 생각하게 되었습니다.
위의 (7)을 다시 쓰면 다음
S = {a_1, a_2, a_3,…, a_n,…} (7)
와 같습니다. 위의 (12)를 (7)의 원소들을 이용하여 표시하면 다음
<바로 아래 예시의 참조번호는 (13)입니다>
H_1 => {a_1*a_1, a_1*a_2, a_1*a_3, …, a_1*a_8, a_1*a_9}
H_2 => {a_2*a_2, a_2*a_3, a_2*a_4, …, a_2*a_8, a_2*a_9}
H_3 => {a_3*a_3, a_3*a_4, a_3*a_5, …, a_3*a_8, a_3*a_9}
H_4 => {a_4*a_4, a_4*a_5, a_4*a_6, …, a_4*a_9}
H_5 => {a_5*a_5, a_5*a_6, a_5*a_7, a_5*a_8, a_5*a_9}
H_6 => {a_6*a_6, a_6*a_7, a_6*a_8, a_6*a_9}
H_7 => {a_7*a_7, a_7*a_8, a_7*a_9}
와 같습니다. 여기서 e,t∈Z(e≥0,t>0)일 때, 위 (13)을 일반화시키면 합성수 집합 중에서 t번째 합성수 집합 H_t는 다음
H_t = {a_t*a_t, a_t*a_(t+1), a_t*a_(t+2), …, a_t*a_(t+e), …} (14)
와 같습니다. 여기서 집합 H_t의 임의의 원소는 a_t*a_(t+e)이므로 앞에서 기술된 합성수 집합 H_t와 집합 S의 임의의 합성수 c[k]_n의 관계를 적용하면 다음
c[k]_n = a_k * a_(k+e) (단, e≥0) (15)
와 같이 나타낼 수 있습니다. 이때 a_k는 불확정 소수집합 S의 원소이므로 a∈Z(a>0)일 때, 위의 (6)과 같이 다음
a_k = 3k+a(단,k가 홀수이면, a=2, k가 짝수이면 a=1)
와 같이 나타낼 수 있고 (15)에 적용하여 다시 쓰면 다음
c[k]_n = (3k + 2-(1+(-1)^k)/2) * a_(k+e) (16)
와 같습니다. 여기서 d∈Z(d>0)일 때, 등차수열 {a_n}의 일반항 공식을 상기하면 첫째항 a이고, 공차 d인 등차수열 {a_n}의 일반항 a_n은 다음
a_n = a + (n-1)*d (17)
와 같습니다. (15)에서 합성수 c[k]_n의 두 약수 a_k와 a_(k+e)의 상호관계를 살펴보면 (14)에서 볼 때 a_(k+e)의 순번 (k+e)는 첫째항이 k이고 공차가 1인 등차수열의 속성이 있음을 알 수 있습니다. (17)에 적용하여 풀면 a_(k+e)의 순번 (k+e)는 다음
(k+e) = k + (n-1)*1 = k + n - 1 (18)
와 같습니다. (18)을 (15)에 적용하면 다음
c[k]_n = a_k * a_(k + n - 1) (19)
와 같습니다. 여기서 양의 정수 f가 f = k+n-1라고 가정할 때 (19)를 (16)과 같은 방식으로 변형시키면 다음
c[k]_n = (3k + 2-(1+(-1)^k)/2) * (3(k+n-1) + 2-(1+(-1)^f)/2)
와 같고 정리하면 다음
c[k]_n = (3k + 2-(1+(-1)^k)/2) * (3k+3n-3 + 2-(1+(-1)^f)/2) (20)
와 같습니다. 위에서 (6)의 표현방식을 적용하면 m,w∈Z(m>0,w>0)일 때, (20)은 다음
c[k]_n = (3k + m) * (3k+3n-3 + w)
(단, k가 홀수이면 m=2, k가 짝수이면 m=1, f가 홀수이면 w= 2, f가 짝수이면 w= 1)
(21)
와 같이 단순화시킬 수 있습니다. 여기서 k와 n의 홀수, 짝수에 따라서 m과 w의 값을 정리하면 다음
<바로 아래 예시의 참조번호는 (22)입니다>
<k의 유형> <n의 유형> <k+n-1의 유형> <m의 값> <w의 값>
홀수 홀수 홀수 2 2
홀수 짝수 짝수 2 1
짝수 홀수 짝수 1 1
짝수 짝수 홀수 1 2
과 같습니다. (22)의 각각의 경우를 (21)에 적용하여 정리하면 다음
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1. k가 홀수인 경우
(1) n이 홀수일 때
c[k]_n = (3k+2)(3n+3k-1)
(2) n이 짝수일 때
c[k]_n = (3k+2)(3n+3k-2)
2. k가 짝수인 경우
(1) n이 홀수일 때
c[k]_n = (3k+1)(3n+3k-2)
(2) n이 짝수일 때
c[k]_n = (3k+1)(3n+3k-1)
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와 같습니다. 이것은 앞에서 제시한 불확정 소수집합 S의 합성수인 원소들의 일반식에 해당합니다.
그런데 이러한 합성수 일반식을 이용하게 되면 짝수와 3의 배수들을 제외할 때, 자연수 중에서 나타나는 5이상의 모든 합성수를 알아낼 수 있어서 자연수에서 그러한 합성수들을 제외하면 나머지에 해당하는 소수들을 찾아낼 수 있게 됩니다.
이상으로 제가 알게된 내용을 서술하였습니다. 요즘 몇 곳에 내용을 올렸지만 아무도 의견제시를 안 하고 있습니다. 본인이 추측하기로는 자연수의 역사가 2300년 이상이 되었는데 이번에 본인이 찾아낸 합성수 일반식은 그래서 약 2300년 만에 밝혀지는 내용에 해당합니다. 그렇더라도 사실은 사실인데, 사실을 외면한다고 해서 존재하는 사실이 어디로 가는 것은 아닙니다.
이 곳 게시판은 이현녀님께서 답변을 자주 하시는 것으로 보입니다. 이번에 본인이 찾은 합성수 일반식은 앞으로 고교 수학교과서의 내용이 바뀌는 것과 관련이 되기 때문에 이곳 수학사랑의 사업과도 연관성이 있다고 생각합니다. 잘 살펴보시면 난해한 내용이 아니니 이현녀님의 자유로운 견해를 말씀해주시면 감사하겠습니다.
보시는 다른 분들도 기탄없는 비판이나 의견을 주시면 감사하겠습니다.
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