<P>정리를 아주 일반화하면 증명이 보다 용이해질 거라는 희망을 걸어보았습니다. 그것도 우선 이차원으로 축소해 보고 삼차원의 경우로 정식화하는 것입니다. (타당성과 적합성을 비판해 주세요!)</P> <P> </P> <P><STRONG>정리1</STRONG>(<EM>선분의 괘적이 이루는 도형의 선면적</EM>): 평면에서 미분가능한 곡선 C를 따라 한 선분 AB가 그 중점 D에서 C와 직교하며 휩쓸고 간 영역(도형)의 넓이 S는 </P> <P> </P> <P align=center>S =<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>AB<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/4`4.3/11,[1]{times}</COMMENT><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>C<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT></P> <P align=center> </P> <P align=left>여기에서,<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>AB<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>는 선분의 길이이고,<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>C<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>는 곡선 C의 길이임.</P> <P> </P> <P><STRONG>계리</STRONG>(1.1): 점 A, B가 그리는 곡선의 길이를 각각 a, b라 하면 </P> <P> </P> <P align=center><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>C<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT> = (a + b)/2</P> <P align=center> </P> <P align=left><STRONG>계리</STRONG>(1.2): 만일 C가 단일폐곡선이라면 </P> <P align=left> </P> <P align=center><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>a - b<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT> = 2<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/3`4.3/11,[1]{pi}</COMMENT><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>AB<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT></P> <P align=center> </P> <P align=left><STRONG>정리2</STRONG>(<EM>단일페곡선의 괘적이 이루는 도형의 면체적</EM>): 공간에서 미분가능한 곡선 C를 따라 한 단일폐곡선 F(평면도형)가 그 폐곡선면의 무게중심 G에서 C와 직교하며 휩쓸고 간 영역 입체의 체적 V는</P> <P align=left> </P> <P align=center>V = S<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>C<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT></P> <P align=center> </P> <P align=left>여기에서, S는 단일폐곡선면 F의 면적임.</P> <P align=left> </P> <P align=left><STRONG>계리</STRONG>(2.1): F의 둘레의 길이를 P라 하면 입체의 옆넓이(측면적)는</P> <P align=left> </P> <P align=center>Sa = P<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>C<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT></P> <P align=center> </P> <P align=left><STRONG>계리</STRONG>(2.2): 문제 입체의 겉넓이(표면적)는</P> <P align=left> </P> <P align=center>Sa' = P<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>C<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/1.8`4.3/11,[1]{vbar}</COMMENT>+ 2S</P> <P align=center> </P> <P align=left> </P> <P align=left> 가정의 제한 조건이 제대로 되었는지 모르겠네요. 그리고 결론의 수식도 물론 직관적 가설입니다. 무게중심이란 질량중심(center of mass)이라는 수리물리의 개념을 수학(기하학)적으로 나타낸 용어이고 그들의 수식을 차용하여 적절히 정의할 수 있습니다. </P> <P align=left> </P> <P align=left> 공간에서의 곡선이 미분가능하다는 말은 미분기하의 해당 개념을 거칠게 표현한 것임을 양지하시기 바랍니다. 정리(1)은 대충 증명될 수 있으나 정리(2)는 역시 만만치 않네요. 앞서 증명하신 분의 통찰은 고무적입니다. 이상이 입증된다면 회전체의 경우는 자동 해결되겠네요. </P> <P align=left> </P> <P align=left> </P> <P> </P>
