파푸스의 제2정리:물체를 회전시킬때 회전체의 부피는 그 물체의 넓이와 그 물체의 넓이와 무게중심이 회전하면서 이동한 거리의 곱과 같다.
저는 수학적 의미에서 무게중심의 definition을 모릅니다 만 제가 알고 있는 일반적 상식으로 한 번 접근해 보고자 합니다^^^
<증명> 주어진 도형이 삼각형 일 때는 성립함을 증명하기는 쉽습니다-증명 생략^^^
좌표평면에서[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{y}축을 회전축으로 하고
[0]#wh4/9.2`4.3/11,[1]{n`geq`3}인[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{n}각형에 대하여 주어진 명제가 성립함을 가정할 때
[0]#wh4/8.4`4.3/11,[1]{n`plus`1}각형의 한 꼭지점에서 이웃하지 않는 다른 한 꼭지점을 연결하면 꼭지점의 개수가[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{n}개 이하인 두 도형으로 주어진 도형이 나뉘어 집니다.
각 각의 도형의 넓이와 무게중심을 [0]#wh4/4`4.3/11,[1]{S'},[0]#wh4/14.3`4.3/11,[1]{G'(x',y')}, [0]#wh4/5`4.3/11,[1]{S''},[0]#wh4/17.3`4.3/11,[1]{G''(x'',y'')}라 두면
구하고자 하는 회전체의 부피는
가정에 의하여[0]#wh4/26.9`4.3/11,[1]{2`pi`x'S'`plus`2`pi`x''S''}....(가)
그리고[0]#wh4/8.4`4.3/11,[1]{n`plus`1}각형의 무게중심을[0]#wh4/11.3`4.3/11,[1]{G(x,y)}라 두고[0]#wh4/26`7.5/11,[1]{bar{GG'}:`bar{GG''}`equal`m:n} ,[0]#wh4/19.1`4.3/11,[1]{S`equal`S'`plus`S''} 라 두면
세 점[0]#wh4/17.3`4.3/11,[1]{G, G', G''}는 한 직선위에 있고
[0]#wh4/17.5`4.3/11,[1]{S'm`equal`S''n}이므로 [0]#wh4/20.5`4.3/11,[1]{m:n`equal`S'':S'}
따라서[0]#wh4/27.6`8.2/11,[1]{x`equal`{mx''`plus`nx'}/{m`plus`n}`equal}[0]#wh4/20.4`8.2/11,[1]{{S''x''`plus`S'x'}/{S''`plus`S'}}
따라서 (가) :[0]#wh4/81.6`8.2/11,[1]{2`pi`x'S'`plus`2`pi`x''S''`equal`2`pi`{S''x''`plus`S'x'}/{S''`plus`S'}(S'`plus`S`dquote)`equal`2`pi`xS}
따라서 주어진 명제는 수학적 귀납법에 의하여 모든 다각형에서 성립한다고 할 수 있습니다.
그리고 다각형이외의 다른 도형은 다각형의 극한으로 처리할 수 있을 것 같습니다.
아주 무식하게 한 번 생각해 보았습니다.
많은 조언 부탁드립니다-특히 수학적의미에서의 무게중심의 정의...
님들 즐거운 주말 보내세요^0^
경남 양산에서...
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