<P>파푸스의 제2정리:물체를 회전시킬때 회전체의 부피는 그 물체의 넓이와 그 물체의 넓이와 무게중심이 회전하면서 이동한 거리의 곱과 같다.</P> <P> </P> <P>저는 수학적 의미에서 무게중심의 definition을 모릅니다 만 제가 알고 있는 일반적 상식으로 한 번 접근해 보고자 합니다^^^</P> <P> </P> <P><증명> 주어진 도형이 삼각형 일 때는 성립함을 증명하기는 쉽습니다-증명 생략^^^</P> <P> </P> <P>좌표평면에서<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{y}</COMMENT>축을 회전축으로 하고</P> <P><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/9.2`4.3/11,[1]{n`geq`3}</COMMENT>인<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{n}</COMMENT>각형에 대하여 주어진 명제가 성립함을 가정할 때</P> <P><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/8.4`4.3/11,[1]{n`plus`1}</COMMENT>각형의 한 꼭지점에서 이웃하지 않는 다른 한 꼭지점을 연결하면 꼭지점의 개수가<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{n}</COMMENT>개 이하인 두 도형으로 주어진 도형이 나뉘어 집니다.</P> <P>각 각의 도형의 넓이와 무게중심을 <COMMENT class=MATH>[0]#wh4/4`4.3/11,[1]{S'}</COMMENT>,<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/14.3`4.3/11,[1]{G'(x',y')}</COMMENT>, <COMMENT class=MATH>[0]#wh4/5`4.3/11,[1]{S''}</COMMENT>,<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/17.3`4.3/11,[1]{G''(x'',y'')}</COMMENT>라 두면 </P> <P>구하고자 하는 회전체의 부피는</P> <P>가정에 의하여<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/26.9`4.3/11,[1]{2`pi`x'S'`plus`2`pi`x''S''}</COMMENT>....(가)</P> <P>그리고<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/8.4`4.3/11,[1]{n`plus`1}</COMMENT>각형의 무게중심을<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/11.3`4.3/11,[1]{G(x,y)}</COMMENT>라 두고<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/26`7.5/11,[1]{bar{GG'}:`bar{GG''}`equal`m:n}</COMMENT> ,<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/19.1`4.3/11,[1]{S`equal`S'`plus`S''}</COMMENT> 라 두면 </P> <P>세 점<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/17.3`4.3/11,[1]{G, G', G''}</COMMENT>는 한 직선위에 있고</P> <P> <COMMENT class=MATH>[0]#wh4/17.5`4.3/11,[1]{S'm`equal`S''n}</COMMENT>이므로 <COMMENT class=MATH>[0]#wh4/20.5`4.3/11,[1]{m:n`equal`S'':S'}</COMMENT> </P> <P>따라서<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/27.6`8.2/11,[1]{x`equal`{mx''`plus`nx'}/{m`plus`n}`equal}</COMMENT><COMMENT class=MATH>[0]#wh4/20.4`8.2/11,[1]{{S''x''`plus`S'x'}/{S''`plus`S'}}</COMMENT></P> <P> </P> <P>따라서 (가) :<COMMENT class=MATH>[0]#wh4/81.6`8.2/11,[1]{2`pi`x'S'`plus`2`pi`x''S''`equal`2`pi`{S''x''`plus`S'x'}/{S''`plus`S'}(S'`plus`S`dquote)`equal`2`pi`xS}</COMMENT></P> <P> </P> <P>따라서 주어진 명제는 수학적 귀납법에 의하여 모든 다각형에서 성립한다고 할 수 있습니다.</P> <P> </P> <P>그리고 다각형이외의 다른 도형은 다각형의 극한으로 처리할 수 있을 것 같습니다.</P> <P> </P> <P>아주 무식하게 한 번 생각해 보았습니다.</P> <P>많은 조언 부탁드립니다-특히 수학적의미에서의 무게중심의 정의...</P> <P> </P> <P>님들 즐거운 주말 보내세요^0^</P> <P> </P> <P>경남 양산에서...</P> <P> </P> <P> </P>
