<P>늘 혼자만 생각해오다 다른 사람의 의견도 듣고 싶어 글을 적어 봅니다.</P> <P>우리는 고등학교에서 함수 "y=1/x"이 불연속 함수라고 배웠고 그렇게 가르치고 있습니다.</P> <P>일단 이 함수는 대학교에서 해석학을 조금이라도 배우신 분이라면 분명 그 "정의"에 의해 연속함수임을 알 수 있습니다.</P> <P> </P> <P>혼란이 되시는 분들을 위해 잠시 정리해 보겠습니다.</P> <P> </P> <P>(1) 우선 연속의 정의는 "한 점"에서 (pointwise) 먼저 정의가 됩니다.</P> <P>그 정의는 입실론 델타를 사용하여 근방 개념에 의해 정의가 되는데, 아시는 분은 다 아는 정의이고 여기서 제가 말하고자 하는 주안점은 아니니 생략하도록 하겠습니다.</P> <P> </P> <P>(2) 그리고 이어 "연속함수"를 정의합니다.</P> <P>"정의구역 상의 모든 점에서 연속인 함수를 연속함수라 한다."</P> <P>이건 고등학교에서도 이렇게 가르치고 있습니다.</P> <P> </P> <P>(3) 이제 y=1/x로 가보겠습니다. 이게 불연속인 이유를 고등학교 정의에 의하면 x=0에서 함수값이 없기 때문이라 합니다. 일단 이게 모순인데, 정의구역 상의 점 x=0에서 함수값이 정의되지 않은 것은 "함수"라 부를 수 있습니까? 이말이 이상하게 들린다면 "함수의 정의"를 다시 보셔야 합니다. 함수 y=1/x라고 말하려면 x=0은 정의구역에서 빠져야 된다는 것이죠.</P> <P> </P> <P>둘째로 x=0 이 정의구역에서 빠진다면 y=1/x은 연속함수의 정의에 정확히 들어맞지 않습니까?</P> <P>정의구역 상의 모든 점에서 연속이니까 말이죠. 이건 대학에서 해석학을 배운 누구한테 물어봐도 인정할 겁니다. </P> <P> </P> <P>(4) 이제 고등학교로 넘어가보죠. 고등학교 교육과정에서는 연속의 정의를 극한값하고, 함수값을 이용해서 정의합니다. "(i) 그 점에서 함수값이 정의하고 (ii) 그 점에서 극한값이 존재하고 (iii) 그 점에서 함수값과 극한값이 같다" 일 때 그 점에서 연속이라고 되어있습니다.</P> <P> </P> <P>고등학교에서 입실론 델타를 써서 말할 수 없으니 교수법상 순화시켜 말하는건 이해가 되는데, 문제는 (i)번 규정을 왜 포함시키느냐 하는 것이죠. 저 이야기 때문에 함수값이 정의되지 않은 것은 불연속이 되는 애매한 현상을 야기시키는데 말이죠.</P> <P> </P> <P>고등학교에서는 y=1/x가 불연속이고 y=(x^2 - 1)/(x-1)도 불연속 함수가 됩니다. 그러나 아니지 않습니까? 우리가 배운 연속의 정확한 정의에 의거하여 이 함수들은 연속함수가 되지 않느냐는 말이죠.</P> <P> </P> <P>고등학교때는 불연속이었는데, 대학교 가면 연속함수가 되는 이상한 학습내용이 되어 버리게 되지 않나 싶은데요.</P> <P> </P> <P>(5) 십분 양보하여 고등학교에서만 "합의에 의해" "교육효과를 위해"함수값이 정의안되는 점을 불연속점에 포함시키자고 한다 하더라도, 또 그 뒤에 나오는 말과 충돌되는 모순은 피할 수 없다고 봅니다.<BR></P> <P>"<STRONG>정의구역 상의 모든 점에서</STRONG> 연속인 함수를 연속함수라 한다."</P> <P> </P> <P>이 말은 고등학교 교과서에도 나오는 내용입니다. 그렇다면 " 점에서의 연속"과 "연속함수"의 정의들 사이에 모순이 있는거 아닌가요? 고등학교적인 정의에서 조차 말이죠?</P> <P> </P> <P>이 이야기에 대해 어떻게 생각하시는지요?</P> <P> </P> <P> </P> <P>제 이야기에 논리적인 모순은 없다고 저는 생각합니다만 혹시 제가 놓치고 있는 부분이 있다면 </P> <P>리플 부탁드리겠습니다.</P>
