<DIV class=board> <P><FONT size=2 face=굴림체>첨부하신 화일에 아무것도 없네요...</FONT></P> <P><FONT size=2 face=굴림체>서핑에서 퍼온 두 개의 글 입니다. 참고하시길...</FONT></P> <P><FONT size=2 face=굴림체></FONT> </P> <P><FONT color=#0000ff size=2 face=굴림체>카발리에리의 불가분량법은 그가 면적과 체적을 계산하는데 썼던 두가지 원리인데 평면도형은 평행한 어떤 선분들의 무한집합이고 입체는 평행한 단면들의 무한집합이라는 생각에서 나온 것입니다. <BR><BR><BR>1. 만일 두 평면 도형이 한 쌍의 평행선 사이에 들어 있고 이 직선과 평행한 임의의 직선 위의 그것에 의해 잘린 두 선분이 항항 어떤 주어진 비율이면 이 두 평면도형의 넓이의 비율도 그와 같다. <BR><BR>2. 만일 두 입체동형이 한 쌍의 평행한 평면 사이에 들어 있고 평면과 평행한 임의의 평면 위의 그것에 의해 잘린 두 단면의 넓이가 항상 어떤 주어진 비율이면 두 입체도형의 체적의 비율도 그와 같다. </FONT></P> <P><FONT size=2 face=굴림체></FONT> </P><FONT size=2 face=굴림체> <P>카발리에리의 원리란 무엇인가? <BR>1. 서론 <BR>카발리에리의 원리라는 것을 들어본 중고등학생은 거의 없을 것이다. 선생님이 동기유발을 위한 심화수학을 가르치거나, 역사에 대해서 설명하기 좋아하는 선생님이 아닌 이상 언급을 안하는 것 중의 하나이다. 그러나 이 카발리에리의 원리는 우리가 초등학교,중학교때부터 배워온 면적 구하기(특히, 평행사변형의 면적)과 부피 구하기(원뿔의 면적, 구의 면적)등에서 개념 설명할 때 이름의 언급없이 사용되고 있다. 그럼 한번 카발리에리의 원리에 대해서 알아보도록 하자. <BR><BR>2. 본론 <BR>사실, 자료를 구하기 힘든 고등학생으로서, 책 한두권과 인터넷을 뒤져서 조사해서 글을 쓴다면, 그 정보의 정확성에 의문을 가지게 된다. 이번에 카발리에리의 원리에 대해서 조사하는 도중에 정말 여러곳의 자료가 조금씩 다르게 되어있어서 어느 자료를 믿어야 할 지는 모르겠다. 이 text에서는, 베이스로 참고문헌 (3)을 삼았다. <BR><BR>카발리에리의 원리란, '어떤 두 개의 평면도형을 정직선(똑바른 직선)에 평행인 직선(구분구적법에서 사용하는 사각형이라고 생각해도 좋다.)으로 나누었을 때, 도형내에 있는 선분의 비가 항상 m:n 과 같을 때는, 그 2개의 도형의 넓이 의 비도 m:n과 같다.'라는 것이다. 이 개념을 이해하려면, 고려출판의 수학 II 교과서의 적분 파트 단원개관의 그림이 가장 이해하는 데 도움을 준다고 생각하지만, 현재 가지고 있지 않은데다가, 있다고 해도 스캐너가 없기 때문에 말로 설명하도록 한다. <BR><BR>두개의 도형을 M,N이라고 하고, 정직선을 XY라고 하자. XY에 수직인 점을 폭이라고 하고, h라고 표기하도록 하자. h를 k등분한 각분점(h를 k등분한 점을 말하는 듯)을 통과해 정직선 XY에 평행인 직선을 그어서 (k-1)개의 직사각형을 만든다. 그 중에서 대응하는 임의의 직사각형을 잡아서 생각하면, 조건에 의해서 높이는 h/k로 같으며, 한 변의 비는 m:n이다. 따라서 이들 (k-1)개의 직사각형의 넓이 M_k,N_k 의 총합M,N의 비도 m:n이 된다. <BR>therefore M : N = lim _{ k->inf} {M_k} : lim _{ k->inf} {N_k} = m:n (이 text의 모든 수학식은 한글 97 또는 2004에서 수식 입력기로 번역해서 보실 수 있습니다.) <BR><BR>또한, 이 원리는 입체인 경우로 확장할 수 있다. 이를 '단면의 비가 일정하면, 전체의 비도 똑같다'라고 간단하게 말할 수 있다. 여기서 전체란 단면을 합쳐놓은 것이라고 볼 수 있으므로 부피라고 추측하는 것은 쉬울 것이다. 이를 '일정한 평면에 평행인 평면으로 2개의 입체를 잘랐을 때의 단면적의 비가 항상 m:n인 것은 2개의 입체의 부피비가 m:n이다'라고 더욱 정확하게 말할 수 있다. 또한 일반화되어있는 이 말을 특정한 상황에 적용시키면, '2개의 입체에서 한 평면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이가 항상 같으면 2개의 입체의 부피는 같다'라고 할 수 있다. <BR><BR>3. 참고할 수 있는 문제 <BR>(1) {x^2} over {a^2} + {y^2} over {b^2} = 1의 넓이를 x^2 + y^2 =1인 원과 카발리에리의 원리를 사용해서 넓이 S를 구하여라. 답 : S = ab pi [참고문헌 1,page 611] <BR>[참고 : 이 공식은 실력 해법수학 수학 2의 타원 문제에서 문제를 쉽게 푸는데 사용하는 것이 가능하다.] <BR>(2) 카발리에리의 원리를 이용해, 반지름이 a인 반구의 부피는 반지름 a, 높이 a인 직원기둥에서 반지름 a, 높이 a인 직원뿔을 제거한 것의 부피와 같음을 보여라. <BR>(답은 저자에게 연락 바람.) <BR>(3) 위의 카발리에리의 원리를 적분을 사용해 직접 증명하여라. <BR>(증명은 참고문헌 4-1을 참조.) <BR>(4) 참고문헌 4-2의, 그림 s1-52-2의 그림을 참조하여 공의 부피를 카발리에리의 원리에 의해 구하라. <BR>(답과 풀이는 참고문헌 4-2를 참조.) <BR>(5) 2003년도 수능 포트리스 page 11의 5번 수능맛보기 문제를, 카발리에리의 원리를 사용해서 풀어라. <BR><BR>4. 참고문헌 <BR>(1) <A hideFocus style="selector-dummy: true" class=con_link href="http://web.cnei.or.kr/jsp/board/upload/mwork_conf/%B1%E2%C7%CF%C7%D0%B5%BF%B1%E2%C0%AF%B9%DF%5B1%5D.hwp" target=_blank><U><FONT color=#0000ff>http://web.cnei.or.kr/jsp/board/upload/mwork_conf/%B1%E2%C7%CF%C7%D0%B5%BF%B1%E2%C0%AF%B9%DF%5B1%5D.hwp</FONT></U></A> : 기하학 동기 유발을 위한 학습자료 , 8. 각뿔(원뿔)의 부피는 왜 각기둥(원기둥)의 1/3 인가? <BR><BR>(2) <A hideFocus style="selector-dummy: true" class=con_link href="http://puzzle.edmath.com/math/essay/cavalieri.pdf" target=_blank><U><FONT color=#0000ff>http://puzzle.edmath.com/math/essay/cavalieri.pdf</FONT></U></A> : 카발리에리(Cavalieri)의 원리와 교차하는 원기둥의 부피 <BR>(3) <A hideFocus style="selector-dummy: true" class=con_link href="http://superschool.co.kr/data3/j1_51.hwp" target=_blank><U><FONT color=#0000ff>http://superschool.co.kr/data3/j1_51.hwp</FONT></U></A> , 2.4 카발리에리의 원리 <BR>(4) <A hideFocus style="selector-dummy: true" class=con_link href="http://superschool.co.kr/data3/j1_51.hwp" target=_blank><U><FONT color=#0000ff>http://superschool.co.kr/data3/j1_51.hwp</FONT></U></A> , 2.1 구분구적법의 이야기 </P></FONT></DIV>
