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[답글]첫 질문의 답

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Posted at 2012-01-27 11:04:26

답글

이현녀 선생님의 답변입니다.     <DIV class=board> 1) a, b, c, d가 임의의 정수일 때 (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) 는 12의 배수임을 증명하라 3, 2 로 나눈 나머지로 보려고 했는데 헷갈려서 잘 안되네요... 설명좀 해주세요. 12의 배수임을 보이는 것은 3의 배수이고 4의 배수인 수를 찾으면 됩니다. 나누기로는 저도 해 보니 안되네요. 그래서 방법을 바꾸어 빼기를 생각해 보았습니다. i) 4의 배수에 대한 생각 어떤 두 수의 차는 짝수 이거나 홀수입니다. 차가 짝수인 두 수는 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수인 경우이고 차가 홀수인 두 수는 하나가 짝수이면 다른 하나는 홀수일 때 밖에 없습니다. 따라서 만약 (b-a), (c-a), (d-a) 가 모두 홀수라면(a와 b, c, d는 엇갈려야하므로 b, c, d가 모두 같은 짝수 이거나 모두 같이 홀수여야하기에 ) (c-b), (d-b), (d-c) 는 모두 짝수가 됩니다.   만약 (b-a), (c-a)가  홀수이고 (d-a)는 짝수라면(a, d와 b, c는 엇갈려야하므로 a,d가 짝수이고 b, c 가 홀수 이거나 반대일 수 밖에 없으니) (c-b)는 짝수이고, (d-b), (d-c) 는 홀수가 됩니다. 이와 같이 따져 보면 적어도 두 개는 짝수이므로 위의 수는 4의 배수가 맞습니다. ii) 3의 배수에 대한 생각 모든 자연수는 3으로 나누면 나머지가 0 또는 1 또는 2 가 됩니다. 만약 (b-a), (c-a), (d-a) 가 모두 3의 배수가 아니라면 b-a, c-a, d-a 를 3으로 나눈 나머지는 1이거나 2가 됩니다. 따라서 적어도 둘은 3의 배수로 나눈 나머지가 같게 됩니다. 만약 b-a 와 c-a 의 나머지가 같다면 c-b 는 3의 배구가 됩니다. c-b = c-a +a-b= (c-a) - (b-a) 로 쓸 수 있으므로 나머지가 같은 수를 빼면 나머지는 0 이 되어 3으로 나눌 때 나누어 떨어집니다. 즉 3의 배수 입니다.</DIV>

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