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Posted at 2012-01-27 09:22:06

수학질문

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고등교과과정에서 연속의 정의에 대한 문제점

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이현녀 선생님의 답변입니다.     늘 혼자만 생각해오다 다른 사람의 의견도 듣고 싶어 글을 적어 봅니다. 우리는 고등학교에서 함수 "y=1/x"이 불연속 함수라고 배웠고 그렇게 가르치고 있습니다. 일단 이 함수는 대학교에서 해석학을 조금이라도 배우신 분이라면 분명 그 "정의"에 의해 연속함수임을 알 수 있습니다. 혼란이 되시는 분들을 위해 잠시 정리해 보겠습니다. (1) 우선 연속의 정의는 "한 점"에서 (pointwise) 먼저 정의가 됩니다. 그 정의는 입실론 델타를 사용하여 근방 개념에 의해 정의가 되는데, 아시는 분은 다 아는 정의이고 여기서 제가 말하고자 하는 주안점은 아니니 생략하도록 하겠습니다. (2) 그리고 이어 "연속함수"를 정의합니다. "정의구역 상의 모든 점에서 연속인 함수를 연속함수라 한다." 이건 고등학교에서도 이렇게 가르치고 있습니다. (3) 이제 y=1/x로 가보겠습니다. 이게 불연속인 이유를 고등학교 정의에 의하면 x=0에서 함수값이 없기 때문이라 합니다. 일단 이게 모순인데, 정의구역 상의 점 x=0에서 함수값이 정의되지 않은 것은 "함수"라 부를 수 있습니까? 이말이 이상하게 들린다면 "함수의 정의"를 다시 보셔야 합니다. 함수 y=1/x라고 말하려면 x=0은 정의구역에서 빠져야 된다는 것이죠. 둘째로 x=0 이 정의구역에서 빠진다면 y=1/x은 연속함수의 정의에 정확히 들어맞지 않습니까? 정의구역 상의 모든 점에서 연속이니까 말이죠. 이건 대학에서 해석학을 배운 누구한테 물어봐도 인정할 겁니다. (4) 이제 고등학교로 넘어가보죠. 고등학교 교육과정에서는 연속의 정의를 극한값하고, 함수값을 이용해서 정의합니다. "(i) 그 점에서 함수값이 정의하고 (ii) 그 점에서 극한값이 존재하고 (iii) 그 점에서 함수값과 극한값이 같다" 일 때 그 점에서 연속이라고 되어있습니다. 고등학교에서 입실론 델타를 써서 말할 수 없으니 교수법상 순화시켜 말하는건 이해가 되는데, 문제는 (i)번 규정을 왜 포함시키느냐 하는 것이죠. 저 이야기 때문에 함수값이 정의되지 않은 것은 불연속이 되는 애매한 현상을 야기시키는데 말이죠. 고등학교에서는 y=1/x가 불연속이고 y=(x^2 - 1)/(x-1)도 불연속 함수가 됩니다. 그러나 아니지 않습니까? 우리가 배운 연속의 정확한 정의에 의거하여 이 함수들은 연속함수가 되지 않느냐는 말이죠. 고등학교때는 불연속이었는데, 대학교 가면 연속함수가 되는 이상한 학습내용이 되어 버리게 되지 않나 싶은데요. (5) 십분 양보하여 고등학교에서만 "합의에 의해" "교육효과를 위해"함수값이 정의안되는 점을 불연속점에 포함시키자고 한다 하더라도, 또 그 뒤에 나오는 말과 충돌되는 모순은 피할 수 없다고 봅니다. "정의구역 상의 모든 점에서 연속인 함수를 연속함수라 한다." 이 말은 고등학교 교과서에도 나오는 내용입니다. 그렇다면 " 점에서의 연속"과 "연속함수"의 정의들 사이에 모순이 있는거 아닌가요? 고등학교적인 정의에서 조차 말이죠? 이 이야기에 대해 어떻게 생각하시는지요? 제 이야기에 논리적인 모순은 없다고 저는 생각합니다만 혹시 제가 놓치고 있는 부분이 있다면 리플 부탁드리겠습니다.     한 가지 놓치고 있는 부분만 말하겠습니다. 위에서 말했듯이 점에서의 연속과 연속함수는 정의 자체가 다릅니다. <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1327886218.jpg"> 이  <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1327886230.jpg">에서 연속이냐고 묻는다면 물론 <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="http://www.mathlove.kr/shop/data/editor/1327886230.jpg">에서의 함수값이 존재하지 않으므로 연속이라고 할 수 없습니다. 그러나  <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="http://www.mathlove.kr/shop/data/editor/1327886218.jpg"> 은 연속함수인가 라고 물을 때는 맞습니다. 왜냐하면 분모가 0 인 수는 제외한 것이 정의역에 해당하므로  은 정의역에 포함되지 않으므로 그 수를 제외한 모든 실수에서 이 함수는 연속이므로 연속함수입니다. 마찬가지로 <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="http://www.mathlove.kr/shop/data/editor/1327886243.jpg"> 도 <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1327886382.jpg">에서 연속인가 라고 묻는다면 아니지요. <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="http://www.mathlove.kr/shop/data/editor/1327886382.jpg">에서 함수값이 존재하지 않으니까요. 그러나 <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="http://www.mathlove.kr/shop/data/editor/1327886243.jpg">는 연속함수인가 라고 물을 때는 맞습니다. 정의역에 <img onLoad='miniSelfResize(contents_2208,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="http://www.mathlove.kr/shop/data/editor/1327886382.jpg">은 빠지니까요. 모순은 아니고 교과서를 잘 읽어보면 점에서의 연속과 연속함수의 차이가 무엇인지 알 수 있을 것입니다.

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