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Posted at 2012-01-19 11:06:54

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이현녀 선생님의 답변입니다.     <DIV class=board> 예전에 책에서 1+1 이 왜 2인지에 대한 이유를 읽었던것 같은데 자료를 분실하고 말았습니다. 크기, 질량등의 비교 방법이 있다고 하는데 잘 이해가 되지 않는군요 중1 학생이 이해하기 쉽게좀 알려 주시면 감사하겟슴니다 다음은 mathlove.org 에 whiz님께서 답변하신 내용입니다. 1+1=2 를 '증명'하기에 앞서, 먼저 이러한 숫자와 덧셈을 '정의'하게 됩니다. 보통, 1 은 무정의 용어로 사용하는 경우가 많습니다. (혹은, 어떤 사람들은 곱셈에 대한 항등원으로 정의하는데, 이 경우, 곱셈도 정의되어야 하므로...) 여기에서, 2 가 무엇인지 '정의'하려면, 사실상 '자연수' 가 무엇인지를 정의해야 합니다. 페아노 공리계니 하는 것들을, 흔히 아는 말을 써서 매우 단순하게 말한다면... 자연수는, (1) 1 은 자연수이다. (2) n 이 자연수이면, "n 다음 수"는 자연수이다 (3) "n 다음수" 연산은 일대일이다. 라는 세 가지 성질을 갖는 집합이라고 생각할 수 있습니다. (이런 집합 중에서 가장 작은 것.) (어떤 사람은 0 도 자연수라고 부르고 싶어하지만....) 여기에서 n 다음 수 를 n' 라고 쓰기로 합시다. 이제, 이 집합에서, 1 다음수, 즉, 1' 을 2 라고 정의하고, 2 다음수, 즉, 2' 을 3 이라고 정의하고, 3 다음수, 즉, 3' 를 4 라고 쓰기로 하고, ... 이와 같이, 모든 자연수에 대해서 기호를 개발하면, 자연수를 무한히 - (3) 성질이 중요함 - 만들어 낼 수 있죠 (수학적 귀납법의 원리와 비슷...) 이 집합에 덧셈을 다음과 같이 정의합니다. a + b 를 정의해야 하는 데, a + 1 = a' 으로 정의하고, a + n' = (a+n)' 으로 정의합니다. 이러한 정의에 의해서 만들어진 '덧셈' 은 우리가 아는 덧셈과 같게 되고요. 이 때, 1+1 은 정의상 1' 이므로, 1+1=2 입니다. 위의 덧셈의 정의에 따르면, 예를 들어, 2+3 은, 2+1 = 2' = 3 이므로, 2+2 = 2+1' = (2+1)' = 3' = 4 이고, 2+3 = 2+2' = (2+2)' = 4' = 5 라는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 3+2 는, 3+1 = 3' = 4 3+2 = (3+1)' = 4' = 5 가 됩니다. 이와 같이 '정의'한 덧셈이 우리가 이미 알고 있는 덧셈의 성질 예를 들어, a+b = b+a, (a+b)+c = a+(b+c) 와 같은 것을 다 만족함을 보일 수가 있습니다. 그리고 난 뒤에 곱셈을 정의하죠. a * 1 = a a * b' = a*b + a 라고 정의하면 됩니다. 예를 들어, 2*2 = 2*1' = 2*1 + 2 = 2+2 = 2+1' = (2+1)' = 3' =4 가 되는 거죠. 이와 같이 곱셈까지 정의하면, 교환, 결합, 덧셈과의 배분 법칙 등을 모두 '증명'할 수 있습니다. 어찌보면, 매우 인위적으로 보이겠지만, 1+1=2 를 '증명' 해 달라고 하면, 이것 말고 사실 별로 다른 방법이 없습니다. </DIV>

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