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Posted at 2012-01-16 15:16:24
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장두천 선생님의 답글입니다.
를 만족하는 자연수 a,b,c는 존재하지 않는다.
왜냐하면 주어진 조건을 만족하는 자연수 a,b,c가 존재한다면 a,b,c의 최대공약수를 G라 두면 a=Ga', b=Gb',
c=Gc' 를 만족하는 자연수a',b',c'가 존재하며 a',b',c'의 최대공약수는 1 이다.
따라서
에 의하여 b'가 a', c'의 등차중항이므로 a'=b'-m,
c'=b'+m
인 자연수 m 이 존재하며 b'와 m은 서로 소이다.(왜냐하면
a', b', c' 의 최대공약수가 1이므로)
을
에 대입하여 정리하면
그런데 b' 와 m 이 서로 소 이므로 b'=1, 2
.
한편 b'=1, 2 이면 위의
를 만족하는 자연수 a' 와 c'가 존재하지 않는다.
이 사실은 가정에 모순되므로 위의 명제는 참이다. |
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