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[답글]

한명수

Posted at 2012-01-14 17:08:46

오일러의 직선문제입니다~

중1-2 수학 인데요

답글

'97년도 KMC 문제입니다. 풀이과정 부탁드립니다.

[답글]

장재영 선생님의 답글입니다.   <문제>각 꼭지점마다 정확히 세 개의 모서리가 연결되어 있고, 사각형 면은 한 개, 나머지 면은 모두 삼각형 또는 육각형인 볼록 다면체가 존재하지 않음을 증명하시오   <증명>주어진 조건을 만족하는 다면체가 삼각형인 면을 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=15 align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="396"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/3.5`4.3/12,[1]{m}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>개, 육각형인 면을 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=12 align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="317"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/2.8`4.3/12,[1]{n}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>개라 가정하면 주어진 다면체는 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=80 align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="2116"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/18.2`4.3/12,[1]{(m`plus`n`plus`1)}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>면체이다. 한편, 삼각형인 면은 1면당 3개의 꼭지점이 있고, 육각형인 면은 1면당 6개의 꼭지점, 사각형인 면은 1면당 4개의 꼭지점이 있으며, 주어진 다면체의 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 항상 3개이므로 주어진 다면체의 꼭지점의 개수 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=141 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="3730"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="4063280"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/32.1`8.2/12,[1]{v`equal`{1}/{3}(3m`plus`6n`plus`1)}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>. 그리고, 한 모서리는 두 면사이에 있으므로 위와 같은 방법으로 주어진 다면체의 모서리의 개수 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=11 align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="291"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/2.8`4.3/12,[1]{e}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>를 구하면 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=141 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="3730"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="4063280"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/32.1`8.2/12,[1]{e`equal`{1}/{2}(3m`plus`6n`plus`1)}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>. 따라서 오일러의 공식에 의하여   <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=450 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="11906"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/101.2`8.2/12,[1]{2`equal`v-e`plus`f`equal`{1}/{3}(3m`plus`6n`plus`1)-{1}/{2}(3m`plus`6n`plus`1)`plus`(m`plus`n`plus`1)}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>  위의 식을 정리하면, <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=49 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="1296"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/11`8.2/12,[1]{m`equal`{7}/{3}}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT> . 이 사실은 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=15 align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="396"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/3.5`4.3/12,[1]{m}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>이 음이 아닌 정수라는 사실에 모순이다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 다면체는 존재하지 않는다.

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