<P>이현녀 선생님의 답글입니다.</P> <P> </P> <DIV class=board> <P><FONT color=#0000ff>a>0 , b>0 일때 a+b/2 ≥ √ab (단 등호는 a=b 일때 성립) </FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>위에 쓰인것이 산술기하평균의 관계 정의잔아요 그리고</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>a>0 , b>0 일때</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>a+b 가 일정할떄 ab는 a=b일때 최대값을가지고</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>ab 가 일정할때 a+b는 a=b일때 최소값을 가지잖아요</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff></FONT> </P> <P><FONT color=#0000ff>그런데 문제풀때요 대부분의문제에서 주로 합이나 곱이 일정할때 최소값이나 최대를 구하라그럴때요</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff></FONT> </P> <P><FONT color=#0000ff>예를 들어서</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>x>0, y>0, xy=1일때 2x+8y의 최소값을 구하여라</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff></FONT> </P> <P><FONT color=#0000ff>이럴때 그냥 </FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>2x+8y ≥ 2√2x × 8y</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>2x+8y ≥ 2√16</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>따라서 최소값은 8</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff></FONT> </P> <P><FONT color=#0000ff>대분분의 문제가 이렇듯 조건 x,y가 양수이고 두개의 합또는 곱의 값을주고 최대 최소를 구하라고하잖아요</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>왜 x,y가 같다는 조건을 주지않는거죠? 위에서정의도그렇듯이 같다는 조건이 있어야 최대 또는 최소를</FONT></P> <P><FONT color=#0000ff>구할수있는거아닌가요? 왜 대분분의 문제들은 같다는 조건을 주지도않고 구하는거죠?</FONT></P> <P> </P> <P>님께서 위에 든 예에서 x, y 가 같을 때 최소값이 되는 것은 아닙니다. x, y 가 같다면 2x+8y=10 으로 일정합니다. 굳이 최소값을 물을 필요도 없지요. 위에서와 같이 xy=1 이라는 조건에 의하여 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=47 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="1243"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/10.2`8.2/12,[1]{y`equal`{1}/{x}}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT> 와 같이 한 문자가 다른 문자의 역수로 표현이 가능할 때 주로 산술 기하평균을 이용하여 두 식의 곱에서 문자를 제거할 수 있기 때문에 주로 사용됩니다. 또한 산술기하평균에서 x 와 y가 같은 경우 등호가 성립하는 것처럼 위 식에서는 2x 와 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=18 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="476"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/3.8`8.2/12,[1]{{8}/{x}}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT> 가 같을 때 (2x = 8y) 등호가 성립합니다. 그러나 문제를 풀 때는 항상 신중하여야 합니다. </P> <P>가령, 교학사 교과서에 나오는 문제를 예로 들면, </P> <P> <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=103 align=absMiddle height=18><PARAM NAME="_cx" VALUE="2725"><PARAM NAME="_cy" VALUE="476"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="4063280"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/23.1`4.3/12,[1]{x`gt`0 , y`gt`0}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT> 일 때 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=116 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="3069"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="4063280"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/26`8.2/12,[1]{(x`plus`3y)({3}/{x}`plus`{9}/{y})}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT> 의 최소값을 구하라 할 때</P> <P>i) <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=258 align=absMiddle height=38><PARAM NAME="_cx" VALUE="6826"><PARAM NAME="_cy" VALUE="1005"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="5374018"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/57.4`8.7/12,[1]{x`plus`3y `geq`2`sqrt{3xy} , {3}/{x}`plus`{9}/{y}`geq`2`sqrt{{27}/{xy}}}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT>이므로</P> <P> <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=289 align=absMiddle height=38><PARAM NAME="_cx" VALUE="7646"><PARAM NAME="_cy" VALUE="1005"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="0"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/64.9`8.7/12,[1]{(x`plus`3y)({3}/{x}`plus`{9}/{y})`geq`2`sqrt{3xy}`times`2`sqrt{{27}/{xy}}`equal`36}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT></P> <P> 따라서 최소값은 36이다.</P> <P>ii) <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=396 align=absMiddle height=38><PARAM NAME="_cx" VALUE="10477"><PARAM NAME="_cy" VALUE="1005"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="0"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/88.9`8.7/12,[1]{(x`plus`3y)({3}/{x}`plus`{9}/{y})`equal`30`plus`{9y}/{x}`plus`{9x}/{y}`geq`30`plus`2`sqrt{{81xy}/{xy}}`equal`48}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT></P> <P> 따라서 최소값은 48 이다. </P> <P>중 어느 풀이가 맞을까요? 위의 i) 번 풀이는 더 값이 작으니 그것이 답일 뜻도 하나 x = 3y 와 <OBJECT class=MATH classid=clsid:70E4BF88-2729-4A46-8794-D459BAC0EB63 width=53 align=absMiddle height=35><PARAM NAME="_cx" VALUE="1402"><PARAM NAME="_cy" VALUE="926"><PARAM NAME="BackColor" VALUE="3932222"><PARAM NAME="Enabled" VALUE="-1"><PARAM NAME="Script" VALUE="[0]#wh4/11.2`8.2/12,[1]{{3}/{x}`equal`{9}/{y}}/{#xc333333}"><PARAM NAME="FontSize" VALUE="12"><PARAM NAME="FontColor" VALUE="3355443"><PARAM NAME="Editable" VALUE="0"><PARAM NAME="Measurable" VALUE="0"></OBJECT> 를 동시에 만족하는 수는 없기에 답이 될 수 없습니다. </P></DIV>
