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무한의 크기

한명수

Posted at 2012-01-12 14:56:12

모분산에 관한 문제입니다.

현대대수 질문

답글

무한의 크기

이현녀 선생님의 답변입니다.   <DIV class=board>mathlove.org 의 수학 Q&A에서 복사해온 것입니다. 우선 어떤 두 집합이 있을 때 이 두 집합의 원소의 개수를 같은지 아닌지 살펴볼 때에 이 집합들이 유한집합이면 쉽게 그 답을 알 수 있습니다. 그냥 원소의 개수를 세면 되겠죠... 그러나 무한집합일 때에는 무한한 원소를 셀 수는 없으니깐 언제 두 무한 집합이 같은 원소의 개수를 갖는지를 정의해야 합니다. 유한집합인 경우에는 두 집합의 원소의 개수가 같다는 것과 두 집합사이에 일대일 대응함수가 있다는 것과 동치가 됩니다. 이것을 그대로 무한집합 사이의 원소의 개수가 같다는 것에 대한 정의로 씁니다. 다시 말해 두 집합의 원소의 개수(농도,기수)가 같다는 것은 두 집합사이에 일대일 대응함수가 있다는 것이다. 질문으로 돌아가서 모든 유리수는 자연수처럼 하나하나 셀 수 있습니다. 이러한 현상들 두고 유리수집합과 자연수집합의 개수(농도,기수)는 같다고 이야기 합니다. 즉 자연수집합과 유리수집합에는 일대일 대응이 있습니다. 다음 글을 읽어 보시면 어떻게 모든 유리수를 하나하나 셀 수 있는지 그 방법을 아실 수 있을 것입니다.// 유리수의 나열법 먼저 분모와 분자가 모두 자연수라고 가정합니다. 즉 양의 유리수 집합의 원소를 나열할 수 있음을 보이려고 합니다. 이제 분모와 분자의 합이 2인 분수를 나열합니다. 이것은 1=1/1밖에 없군요..그리고 분자와 분모의 합이 3인 수를 분모가 작은것 부터 나열합니다. 그러면 2/1,2/1 두개 뿐이구요..다음 분자와 분모의 합이 4인 수를 분모가 작은것 부터 나열합니다. 3/1 ,2/2, 1/3 세개인데 2/2는 아까 세었으니깐 빼고 나열합니다. 이런 과정을 계속하여 양의 유리수를 나열하면 다음과 같이 군수열 비슷한 것을 얻게 됩니다. 위와 같은 방법으로 나열하다가 이미 나열된 것이 나오면 그것은 제외하면 되겠습니다. 양의 유리수이 나열: [1/1], [2/1,1/2], [3/1 ,(2/2) ,1/3], [4/1 ,3/2, 2/3 ,1/4],... 괄호[,]는 세기 편하게 도입한 것이구 (,)은 셀때 제외해야 합니다. 이제 모든 양의 유리수를 셀 수 있었으니깐 쓰기 편하게 양의 유리수를 a1,a2,a3,a4,a5...로 씁니다. 물론 a1=1,a2=2/1, a3=1/2, a4=3/1, a5=1/3,...이 되겠습니다. 이제 다음과 같이 모든 유리수를 나열하면 유리수 전체의 집합이 셀 수 있는 집합임이 보여집니다. 모든 유리수: 0, -a1, a1, -a2, a2, -a3, a3, -a4, a4,... 일반적으로, 두 집합 A, B 에 대하여 h : A -> B 인 일대일함수가 있을 조건과 |A| <_ |B| 인 것이 동치입니다. (정의임) 이 순서 <_ 가 실제로 부분순서임을 보이는 것 중, 가장 어려운(?) 부분이 |A| <_ |B| <_ |A| <==> |A| = |B| 를 증명하는 것입니다. Cantor 의 증명을 보면, 불행히도, Axiom of choice 를 사용합니다. 다시 말해서, 일반적으로는 두 무한집합의 농도가 같을 때, 일대일대응을 구성하는 적당한 방법이 없다는 거죠. 얼핏 보면, Q+ 는 자연수 두 개의 몫이므로 있을 듯 하지만, 기약이 아닌 분수들 때문에 쉽지만은 않습니다. 하지만... 예를들어, N 과 N x N x N ... 사이의 일대일대응은 쉽습니다. (사실은 뒤에서는 1 이 되어야 함...) 2^(x-1) 3^(y-1) 5^(z-1) ... <==> (x,y,z,...) 로 하면 되니까요. Q+ 와 Z x Z x Z x Z 사이의 일대일 대응도 쉽습니다. (역시 뒤에서는 모두 0 이 되어야 함) 2^a 3^b 5^c ... <==> (a,b,c,...) 결국 우리의 문제는, N 과 Z 사이의 일대일 대응을 만들면 됩니다 ! 그것은 잘 알고(?) 있는 대응을 생각하면 되겠지요. h: Z -> N -m -> 2m+1 (m >_ 0) m -> 2m (m > 0) (주의할 것은 0 은 1 로 가야 함) 예를 들어, Q+ 의 원소, 3/4 = 2^(-2) 3^1 <==> (-2,1,0,0,...) 은 Z x Z x ... 의 원소. <==> (5,2,1,1,...) 은 N x N x ... 의 원소. <==> 2^4 3^1 은 N 의 원소. 예를 한 번 더 들면, 12/13 = 2^2 3^1 13^(-1) 은, 모양상 보듯이 2^3 3^1 13^2 로 대응하면 된다는 것입니다. 이 문제는 유리수를 나열할수 있으면 되는 것이죠. 즉, {0, -2, 3.4, ...} 같이 말이죠. 물론 그 순서가 명확히 정해지고요. 유리수는 정수분의 정수로 표현되므로 평면상의 점들[(x,y)]에서 각 좌표가 정수인 것들로 표현됩니다. 즉 (a, b) = a/b. (물론 정의가 되지 않는 것들도 있습니다.) 그리고 자 이제 (0,0)에서 시작하여 시계 방향으로 회오리 진향을 하여 모든 정수좌표 점들을 찾아 갑니다: (-1,1) <- (0,1) <- (1,1) (2,1) | A A v | | (-1,0) (0,0) -> (1,0) (2,0) | A V | (-1,-1) -> (0,-1) -> (1,-1) -> (2,-1) 그런다음 정의 되지 않는 것들과 중복되는 것들을 빼고 나열하면 되겠죠. 즉 1=(1,1), 0=(0,1), -1=(-1,1), -2=(2,-1), 2=(2,1), .... > 단순히 농도를 따지는데 셀 수 있는 무한 과 셀 수 없는 무한 으로 > 따지는 건 아니겠죠? 무수히 많습니다. 어떤 집합 A가 있을 때 A의 모든 부분 집합들의 집합 P(A)의 기수는 A의 기수보다 큽니다.(같지 않습니다.) A의 기수를 |A|라 표현하면 |N| < |P(N)| = |R| < |P(R)| < |P(P(R))| < ... 입니다. </DIV>

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