우리가 말하는 정다면체는 볼록한 입체도형을 말하며 이런 볼록한 입체도형을 만들기 위해서는 한 꼭지점에 모이는 면의 수가 적어도 3개 이상이어야 하고 각 꼭지점에 모인 각의 합이 360도 미만이어야 합니다. 각 꼭지점에 모인 각의 합이 360도가 되거나 넘어버리면 볼록한 입체도형을 만들 수가 없습니다. <BR><BR>그리고 또 정다면체의 정의를 생각해보면 각 면이 합동인 정다각형으로 각 꼭지점에 모인 면의 개수가 같다 라고 되어있습니다. <BR><BR>이제부터는 하나하나 생각해 보면 됩니다. 한 꼭지점에 적어도 3개이상의 정다각형이 모여야 입체가 된다 했으니, <BR>정삼각형은 한 내각의 크기가 60도이므로 3개 모이면 180도, 4개 모이면 240도 5개 모이면 300도 6개 모이면 360도, 이래서 360도가 되면 평평해지므로 입체가 될 수 없으니 정삼각형이 한 꼭지점에 3, 4, 5개까지 모일 수 있겠군요. <BR><BR>마찬가지로 정사각형은 한 내각의 크기가 90도이므로 3개 모이면 270도, 4개 모이면360도, 따라서 4개도 안되고 한 꼭지점에 3개만 모이는 입체만 존재하겠군요. <BR>정오각형도 한 내각의 크기가 108도이므로 3개 모이면 324도라 괜찮지만 4개부터는 안됩니다. 그런데 정육각형은 한 내각의 크기가 120도라 3개만 모여도 360도로 평평해지네요. 따라서 정육각형부터는 아예 3개도 안되네요. 그래서 더 이상의 정다면체가 만들어지지 않게 됩니다. <BR><BR>이로서 정삼각형을 한 꼭지점에 3개씩 만나도록 만든 정사면체, <BR>4개씩 만나도록 만든 정8면체, 5개씩 만나도록 만든 정20면체, <BR>정사각형을 3개씩 붙여만든 정6면체, 정오각형을 3개씩 붙여만든 정12면체 이렇게 5가지밖에 존재할 수 없는 것이지요. <BR><BR>그러나 생각을 확장하여 볼록다면체가 아닌 오목다면체까지도 생각해 보면, 다양한 다면체가 만들어지고, 또 한종류로 둘러싸인 입체가 아닌 두 가지 이상의 정다각형으로 어디서 보더라도 규칙적인 모양을 갖는 다면체를 생각해 본다면 또 더많은 다면체를 만들 수가 있지요.
