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간단한 숫자퍼즐과 페르마의 정리와 비슷한 오일러의 가설

Posted at 2011-11-28 19:00:22

간단한 숫자퍼즐과 페르마의 정리의 비슷한 오일러의 가설

<TABLE border=0 cellSpacing=0 cellPadding=0 width=450>
<TBODY>
<TR>
<TD width=225>
얼마 전 &lt;수학세상 가볍게 읽기, 데이비드 애치슨, 황선욱 역, 한승, 2007&gt;이란 책을 읽었다. 거기에서 페르마의 정리와 
비슷한 오일러의 가설 이야기가 나온다. 그 내용은 다음과 같다.
 &nbsp;</TD>
<TD width=225>
<img onLoad='miniSelfResize(contents_33,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' style="WIDTH: 107px; HEIGHT: 155px" border=0 hspace=0 
alt="" align=baseline 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/i071210962_1210.jpg" width=111 
height=169></TD></TR></TBODY></TABLE>
 『1753년에 오일러는 다음 등식을 만족시키는 자연수 <img onLoad='miniSelfResize(contents_33,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322474010.jpg">가 존재하지 않는다는 사실을 
증명하였다.
<img onLoad='miniSelfResize(contents_33,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322474112.jpg">
달리 말해서 자연수의 범위에서만 생각하면 세제곱수 2개를 더한 값이 다시 세제곱수가 되는 경우는 없다. 이것은 페르마의 
마지막정리의 특수한 경우로 지금까지는 별 이상이 없다.&nbsp; 그런데, 몇 년이 지난 후에 오일러는 다음과 같은 가설을 
내놓았다. &nbsp;&nbsp; 네제곱수 3개를 더한 값이 다시 네제곱수가 되지 않으며, &nbsp;&nbsp; 5제곱수 4개를 
더한 값이 다시 5제곱수가 되지 않으며, &nbsp;&nbsp; 6제곱수 5개를 더한 값이 다시 6제곱수가 되지 않는다.&nbsp;
……
이와 같은 주장을 확인하기 위해 사용되는 수들이 아주 빠른 속도로 커지기 때문에, 여러 해 동안 오일러의 가설을 아무도 
증명하지 못했을 뿐만 아니라, 이 가설을 뒤엎는 반례를 찾은 사람도 없었다.&nbsp; 그러다가 오일러가 이 가설을 세운지 200여년이 
지난 1966년에 와서야, 마침내 랜더(L.J, Lander)와 파킨(T.R. parkin)이 아래와 같은 5제곱수 4개를 더한 값이 다시 
5제곱수가 되는 반례를 찾았다.
<img onLoad='miniSelfResize(contents_33,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322474190.jpg">
이와 같이 수학에서도, 틀린 가설이 아주 오랫동안 틀린 채로 남아있을 
수 있다. 1986년 미국 하버드 대학의 노암 앨키스(Noam Elkies)가 다음과 같은&nbsp; 네 
제곱수의 반례를 처음으로 밝혔다. 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_33,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322474276.jpg">
이 글을 읽으면서 떠오르는 숫자퍼즐이 있어 소개하고자 한다.
문제1. &nbsp;<img onLoad='miniSelfResize(contents_33,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322474360.jpg">과 같이 표현한 것을&nbsp; 연속된 두 
자연수의 제곱의 합이라고 하자. &nbsp; (1) 연속된 두 자연수의 제곱의 합이면서 연속된 세 자연수의 제곱의 합이 되는 수 중 가장 
작은 자연수를 구하여라. &nbsp; (2) 연속된 두 자연수의 제곱의 합이면서 연속된 세 자연수의 제곱의 합이 되는 수를 구하여라. 

&nbsp;
문제2. &nbsp;<img onLoad='miniSelfResize(contents_33,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1322474409.jpg">&nbsp;는 
두 수의 세제곱으로 나타내는 방법이 2가지인 수 중 가장 작은 수이다. (1) 
두 수의 제곱으로 나타내는 방법이 2가지인 수를 구하여라. (2) 
이와 같이 두 수의 세제곱으로 나타내는 방법이 2가지인 다른 예를 찾아보아라.

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