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동전옮기기 해설1

FILE : 동전 옮기기(해설).hwp (1.79MB)

Posted at 2011-11-28 17:46:02

<DIV class=board>
해설이 늦어졌습니다.
 문제1. 다음 그림과 같이 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 붙어 
있다.&nbsp; &nbsp; (1)&nbsp; 동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 
하여라.&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 조건2. 동전 4개의 
중심이 이루는 정사각형의 위치가 처음과 다르다.&nbsp; &nbsp; (2)&nbsp; 이 때, 움직이는 
회수가 가장 적은 것은 몇 회인가? ▶해설 &nbsp; (1)&nbsp; 대칭성에 의하여 어느 
것을 움직이나 마찬가지이다. 여기서는 4번 동전을 옮겨서
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;(1,2)의 위에 옮긴다.&nbsp;<A hideFocus 
style="selector-dummy: true" name="[문서의 처음]"></A>
<A 
hideFocus style="selector-dummy: true" name=#7f894f6d></A>&nbsp;&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
border=0 src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803b1.jpg" 
width=166 height=113>&nbsp;
&nbsp; (2) 3을 옮기면 평행사변형이 나오므로 정사각형을 만들 수 없다. 1도 삼각형이 분리가
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;되거나 4의 위치로 가므로 움직일 수 없다. 따라서, 2를 옮길 수 밖에 
없다. &nbsp; &nbsp; 경우1. 2가 (1,4)에 이웃하게 옮기는 경우 
&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803b2.jpg" width=166 
height=113> 
&nbsp; 대칭의 모양이므로 4를 (1,2)에 이웃하게 옮긴다. &nbsp; 다시 2를 (3,4)에 이웃하게 옮기면 4번에 
완성된다. &nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/UNI0000026803c5.gif" width=346 
height=113>&nbsp;&nbsp; &nbsp; 경우2. 2가 (1,3)의 
왼쪽으로 옮기는 경우&nbsp; 
&nbsp; 1이 옮겨지면 동전이 서로 분리가 되어 곤란하다. 4가 옮겨지면 평행사변형이 만들어지므로 곤란하다. 따라서 3을 옮길 수밖에 
없다.&nbsp; &nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803b5.jpg" width=166 
height=113> 
경우 2-1 ; 3이 (1,2)에 이웃하게 옮기면 다음에 2를 (3, 4)에 이웃하게 옮겨서 4번에 
완성된다. 
&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803b6.jpg" width=166 
height=113> 
경우 2-2 ; 3이 (1,4)에 이웃하게 옮기면 다음에 4를 (3, 2)에 이웃하게 옮겨서 4번에 
완성된다. 경우3. 2가 (1,3)의 오른쪽으로 옮기는 경우 세 동전 (4, 1, 3)이 
직각을 이루므로 3을 (2, 4)에 붙이면 3번에 완성된다.&nbsp; <A hideFocus 
style="selector-dummy: true" name="[문서의 처음]"></A>
<A 
hideFocus style="selector-dummy: true" name=#7f894f76></A><img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/UNI0000026803c7.gif" width=346 
height=113>&nbsp; <A 
hideFocus style="selector-dummy: true" name=#7f894f77></A>&nbsp;<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803b9.jpg" width=200 
height=192>
 이상과 같이 시행착오에 의하여 퍼즐을 풀 수도 있지만 논리적으로 해결 할 수도 있다. 이런 필연의 과정을 찾아가는 것이 
문제해결방법이라고 본다면 동전옮기기는 문제해결 방법의 모범사례라 할 수 있다. 문제 2. 정육각형 
만들기 
&nbsp; 동전 6개를 그림과 같이 정삼각형 모양으로 배열되어 있다. 
&nbsp; (1) 동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 정삼각형 모양을 정육각형 모양으로 
만들어라. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 조건1. 하나의 동전을 
이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다.&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 조건2. 동전을 들어내지 않고 옆으로 이동해야 
한다.&nbsp; &nbsp; (2) 이 때, 움직이는 회수가 가장 적은 것은 몇 회인가? 
 ▶해설 처음에 옮기는 것은 대칭성에 의하여 (1, 4, 6)과 (2, 3, 5)를 옮기는 것은 같은 조건이 된다. 

1. 먼저&nbsp; (1, 4, 6)중의 하나를 옮기는 경우를 생각해 
보자. &nbsp;&nbsp;&nbsp; 가급적 (4, 2, 3, 6)을 고정시켜 정육각형을 만들어 보자. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ① 1을 옮기는데 5가 빠져나오기 쉽게하기 위하여 (3, 6)에 
붙인다.&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/UNI0000026803c9.gif" width=346 
height=94>&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; ② 5가 막히면 움직이는 횟수가 
늘어나므로 5를 이동시켜 (1, 6)에 붙인다. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ③ 이제 정육각형을 만들려면 1을 (5, 6)에 붙인다. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ④ 계속해서&nbsp; 정육각형을 만들려면 5를 (1, 6)에 
붙인다.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803bc.jpg" width=166 
height=94>&nbsp;&nbsp; <A hideFocus style="selector-dummy: true" 
name=#7f894f7b></A><img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803bd.jpg" width=166 
height=94>&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; ⑤ 이제 1을 (5, 4)에 
붙이면 5회의 이동으로 정육각형이 만들어진다.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/EMB0000026803be.jpg" width=166 
height=94>&nbsp; 
앞에서 문제가 해결될 수 있음을 알았다. 이제 최소 횟수를 구해보자. 2. 앞에서 (1, 4, 
6)중의 하나를 옮겼으므로 여기서는 (2, 3, 5)를 옮기는 것은 경우를 생각해 보자. 대칭성에 의하여 2를&nbsp; 옮기는 
경우를 생각하자. 2를 (4, 5)또는&nbsp; (5, 6)에 접하게 옮기는 2가지 경우가 있다. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ① 경우1; 대칭성에 의하여 2를 (5, 6)에 옮기는 경우를 생각하자. 

&nbsp;&nbsp;&nbsp; ② 5가 빠져나오기 위하여 3이나 4가 움직이면 된다. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 경우 2-1; 3이 (4,5,2)에 접하게 옮기면 5가 
정육면체의 한 변이 되도록 (1, 6)에 접하게 움직이고, 다음에 1이 (4, 5)에 접하도록 옮기면 4번에 완성된다. (그림 ③, ④ 
참고)&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/UNI0000026803cb.gif" width=432 
height=242>&nbsp; 같은 4회의 옮김으로 문제를 해결하지만 나중의 것이 더 좋은 풀이라고 생각된다. 처음의 것은 
3번째에 다른 것을 건드릴 가능성이 높기 때문이다. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_10,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' border=0 
src="http://www.mathlove.co.kr/board1/MBImages/UNI0000026803cd.gif" width=416 
height=178> 
학생들이 이 문제를 풀게 되면 많은 시행 착오를 거쳐서 우연히 풀이를 찾는 경우가 많습니다. 그러나, 그 과정속에서 논리적인 사고를 거치게 
되지요. 모든 경우를 확인하면서 최적의 해를 찾아 가는 것입니다. 나중에 정리해보면 당연하지만 실제로 해보면 잘 안되는 경우가 있고, 아까 해던 
과정을 되풀이하거나 중요한 과정을 생략하여 최적의 풀이를 못 찾는 경우가 있습니다. 
&nbsp;
&lt;참고&gt;
&nbsp;1. 풀이만 쓰면 간단한데 해설을 하다보니 길어졌습니다.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3번 문제에 대한 해설도 같은 방법으로 하면 됩니다. 이는 다음에 올리겠습니다.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 사진을 찍고 이를 편집하는데 오류가 생겨서 늦어졌습니다.
&nbsp;2. 첨부파일에는 3번 문제에 대한 답이 있습니다. 한글 파일입니다.</DIV>

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