수학사랑쇼핑몰

HOME >수학이야기>장훈의 횡설數설

원과 비례 다시보기

Posted at 2011-11-21 11:33:49

원과 비례는&nbsp;다음 등식이 성립함을 이해하고, 적용하는 것이&nbsp;주요 
내용이다.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<img onLoad='miniSelfResize(contents_5,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1321842579.gif">
그런데&nbsp;십여년 전 한 학생의 질문을 계기로 원과 비례를 다시 생각할 기회를 갖게 
되었다.&nbsp;
 사실 이 내용을 제대로 이해하려면 아래 그림과 같이 한 점 P와 원이 있을 때&nbsp;
점B를 원 위에서 마음대로&nbsp;끌어 선분 PA와 선분 PB의 값이 변해도 "두 선분의 곱 PA ×PB 의 값은 항상 일정하다."는 
것을&nbsp;알아야 한다.&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<img onLoad='miniSelfResize(contents_5,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' 
style="WIDTH: 328px; HEIGHT: 171px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323045606.jpg" width=438 
height=229> &nbsp;따라서 원과 비례는 위의 그림과 같이&nbsp;"원 위의 점 B의 위치에 관계없이 항상&nbsp;의 값이 
일정하다"를 강조하여&nbsp;가르쳐야 하지 않을까하는 생각을 해본다. 
 물론 맨 위의 그림의 아이디어는&nbsp;증명할 때 이용하면 된다. 어쨌든의 PA ×PB 의 값이 항상 
일정하다는&nbsp;것은 참으로 놀랍고 신기한 일이다. 바로 이 값을 원의 
파워(Power)라고 한다. 사실 이 값은 점P에서 그은 접선의 길이의 제곱이기도 하다.
그래서 이 정리를 방멱(方冪)정리(Power Theorem)라고도 한다. 이런 
일은&nbsp;원에서만 가능한 일이다. 
&nbsp;
약간 비약하여 말하자면 "이렇게 멋지고 신비로운 창조주의 메세지를 아이들이 공감할 수 있도록 
하는 것이 프로마츄어(수학사랑) 교사들의 숙명적 사명이 아닐까"하는 생각을 해본다.&nbsp; 그래야 단순한 등식을 넘어서는 멋진 수학의 
세계로 아이들을 안내할 수 있을 것이다.
 원과 비례는&nbsp;"평면 위의&nbsp;있는 한 점과 원의 기하적인 상황에 대하여 파워(Power)라는 실수가 하나 대응"하는 
것을 의미한다. 
다음은 원과 비례를 공부한 후 모든 교과서에서 다루는 문제이다. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <img onLoad='miniSelfResize(contents_5,this); if(this.parentNode.tagName=="A"){this.onclick = "";}' style="WIDTH: 255px; HEIGHT: 214px" 
src="/shop/lib/meditor/../../data/editor/1323046931.jpg" width=304 
height=234> 여기서&nbsp; PA ×PB =PC×PD임을 증명하는 문제이다. 
이것을 식으로 증명만하고 간다면 참 아쉬움이 많다. 
즉,&nbsp;이 그림에 숨은 기하적인 의미는 무엇일까?&nbsp; "두 원의 교점을 지나는 직선 위의 임의의 점 P에서 두 원에 
그은 접선의 길이가 같다"는 뜻이다. 
즉, "두 원에 대한 파워가 같다"라는 뜻이다. 다시말하면, 두 원에 그은 접선의 길이가 같은(파워가 같은) 점들의 모임이 교점을 
지나는 직선이라는 뜻이다. 중학교 1학년 때 두 원의 위치관계를 배웠다는 것을 일깨워 주면서 이 내용과 결부하여 새로운 문제를 생각해 볼 
수 있는 시간을 주면 어떨까? 
아마도&nbsp;아이들의 생각의 문을&nbsp;활짝 열 수 있는 기회가 될 것이다. 
"두 원이 위치관계에 따라 접선의 길이가 같게 되는 점들의 모임은 어떻게 될까요? 생각해 오세요!"라고 숙제를 내는 것도 좋을 듯하다. 

또는 다음과 같은 질문을 해 보자. 
" 두 원이 접할 때는 접선의 길이가 같게 되는 점들의 모임은 어떤 도형이 될까?" " 두 원이 만나지 않을 때 접선의 길이가 같게 
되는 점들은 어떤 도형(직선)이 될까? " 또 그런 직선은 어떻게 작도할 수 있을까?" 더 나아가... "원과 비례를 공간으로 
확장하면 어떻게 될까?" "공간에 한 점과 구가 있을 때 원과 비례를 증명해 보자." ....... 끝으로 
파워(Power)라는 말은 방향에 따른 곱이라는 뜻의&nbsp;방멱(方; 방향,&nbsp;冪; 계속 곱하기)이라고 번역할 수 있으나 한자 말이라 
좀 아쉽다.&nbsp;멋진 우리 말 이름이 있었으면...

ㆍ총구매액	0 원
ㆍ적립금	0 원
ㆍ할인쿠폰	0 원

ㆍ장바구니	0 개
ㆍ위시리스트	0 개