문제

[eqn: x ^{5} =1]의 한 허근을 [eqn: w]라 할 때, [eqn: (1-w)(1-w ^{2} )(1-w ^{3} )(1-w ^{4} )]의

값을 구하여라.

풀이에서 1, [eqn: w,`w ^{2} ,w ^{3} ,w ^{4}]을 [eqn: x ^{5} =1]의 서로 다른 근이라고 하였는데

어떻게 [eqn: w ^{2} ,w ^{3} ,w ^{4}]이 근이 될 수가 있나요?

또 [eqn: THEREFORE w ^{5} =w ^{3} BULLET w ^{2} =1]이 되어 [eqn: w ^{3} =w ^{2} BULLET w=w=1]이므로 또 모순이 된다.

에서 [eqn: w ^{2}]이 1이 될 수 있나요?

그리고 다른 경우란 어떤 것을 말 하는 것인지요?

풀이>

[eqn: 1,w,w ^{2} ,w ^{3} ,w ^{4}]을 [eqn: x ^{5} =1]의 서로 다른 5개의 근이라 할 수 있다.

ⅰ) [eqn: w ^{n}]이 근이 되는가? ⇒ [eqn: n=0,1,2,3,4]에 대하여 [eqn: (w ^{n} ) ^{5} =(w ^{5} ) ^{n} =1]

ⅱ) 5이하의 자연수 [eqn: a,`b]가 [eqn: a != b]이면 [eqn: w ^{a} != w ^{b}]인가?

[eqn: w=w ^{2}]이라면 [eqn: w=1,`0] (모순 [eqn: w]가 허수이므로)

또 [eqn: w=w ^{4}]이라면 [eqn: w ^{3} =1,`w=0] (부적당)이다.

[eqn: THEREFORE w ^{5} =w ^{3} BULLET w ^{2} =1]이 되어 [eqn: w ^{3} =w ^{2} BULLET w=w=1]이므로 또 모순이 된다.

다른 경우도 이와 같이 해보면 된다.

[eqn: THEREFORE x ^{5} -1=(x-1)(x-w)(x-w ^{2} )(x-w ^{3} )(x-w ^{4} )]에서

[eqn: x ^{5} -1=(x-1)(x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1)]이므로

[eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1=(x-w)(x-w ^{2} )(x-w ^{3} )(x-w ^{4} )]이 된다.

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 5=(1-w)(1-w ^{2} )(1-w ^{3} )(1-w ^{4} )]

답 5