만약 문제가 임의의 자연수 에 대하여

P=  가  로 나누어 떨어짐을 보이시오.

라면 다음과 같이 풀이하면 될 것 같습니다.

임의의 자연수  에 대하여

=이므로

는 모두 의 배수이므로

주어진 식 P가 로 나누어 떨어짐을 밝히면 된다.

① 는 연속하는 세 자연수 이므로

이 세 수 중 적어도 하나는 2의 배수이다.

따라서 식 P 는 의 배수이다.

(예를들어 이 2의 배수이면

그런데 식 의 항은 m+1개 즉 짝수개 이므로 (x+1)의 배수이다.

식  을 차례대로 2개씩 묶어서 공통인수를 잡아내어 인수분해하면 (x+1) 이 인수로 나타납니다.)

② 는 연속하는 세 자연수 이므로

이 세 수 중 반드시 하나는 3의 배수이다.

따라서 식 P 는  의 배수이다.

(예를들어 m+1 이 3의 배수이면

그런데 식  의 항이 m+1 개 즉 3의 배수개 이므로  의 배수이다. 식  을 차례대로 3개씩 묶어서 공통인수를 잡아내어 인수분해하면 가 인수로 나타납니다.)

③  중 하나가 2의 배수이자 3의 배수인 경우

즉, 예를들어 m+1이 2의 배수이자 3의 배수이라고 하면

m+1=2k(단, k는 3의 배수)

따라서

따라서  으로 나누어 떨어집니다.

증명이 아주 길어졌네요. 참고가 되었으면 좋겠습니다^^^