n개의 공 중 같은 것이 p 개와  q개씩 있는 순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있지 않을까 생각했습니다. 공식은 다음과 같습니다.

[eqn: {n!} over {p!q!} TIMES {1} over {n}]

그리고 확인을 해 보았습니다. 그러나 작은 수부터 대입해 보았습니다.

빨간공 2 개와 파란공 2 개가 있을 때, [eqn: {4!} over {2!2!} TIMES {1} over {4}= { 3} over { 2}]

처음부터 성립하지가 않았습니다.

원순열의 개수를 구할 때 직순열의 개수 [eqn: {n!} over {p!q!}]를 이용하여 [eqn: {1} over {n}]을 곱하는 이유를 알아야 합니다. 원순열을 이루는 n 개가 순환마디를 이루면 직순열 n 개가 하나의 원순열을 이루지만

r (r은 n의 약수)개가 순환마디를 이루면 직순열 r 개가 하나의 원순열을 이룬다.

빨간공 2 개와 파란공 2 개가 있을 때,

즉, 위의 그림에서 보면 직순열 6개 중에서 4개가 1개의 원순열로 되는 경우와 2개가 1개로 되는 경우가 있다.

만일

1) [eqn: m,```n] 서로 소이면, 비대칭 원순열이 된다. (여기서 대칭은 점대칭을 뜻한다)

원순열의 개수= [eqn: {(m+n)!} over {m!n!} TIMES {1} over {m+n}]

2) [eqn: m,```n] 서로 소가 아니면, 대칭을 포함한 원순열이 된다.

원순열의 개수= [eqn: {(전체의`직순열)-(대칭인직순열)} over {(직순열이루는``전체의`개수)} + {(대칭인`직순열)} over {(순환마디)}]

위의 예에 순환마디는 아래그림과 같고 대입하여 보면  [eqn: { 6-2} over {4 }+ { 2} over { 2}=2]

(참고) 원순열과 염주순열을 작은 것부터 예를 잡아서 연구를 해봐야 한다. 무엇보다도 중요한 사실은 n 개의 원순열수를 구할 때 직순열에서 n으로 나누는 이유를 알아야 한다.