수학사랑 소프트웨어 연수

GSP 4.0 연수

1. 도구모음

도구모음에는 여섯 개의 도구가 있다.

가장 많이 쓰이는 화살표 도구는 개체를 선택하거나 끌어 옮길 때 사용하며 점 도구, 원 도구, 선 도구, 글(문자열) 도구는 각각 기본적인 개체인 점, 원, 선(선분, 반직선, 직선), 그리고 문자열을 만들 수 있게 하며, 마지막 도구는 사용자 도구(보통 프로그램의 매크로에 해당)를 만들거나 사용하기 위한 것이다.

특히 선 도구는 눈금 없는 자, 원 도구는 컴퍼스(단, 유클리드의 공준에 나타나 있는 것과 같은 ‘흔들리는 컴퍼스(collapsing compass)’ 임)의 역할을 하여 GSP에서 작도를 흉내낼 수 있도록 해 준다.

[예제 1.1] 도구모음을 사용하여 다음 도형들을 그려 보자.  변형시켜도 그 모양을 유지해야 한다.

(1) 삼각형	(2) 이등변삼각형	(3) 정삼각형

(1) 삼각형: 선분 도구 (선 도구 중 첫번째)를 사용하여 세 개의 선분을 그리되, 끝점을 공유하도록 그린다.

(2) 이등변삼각형: 실제 자와 컴퍼스를 사용한 작도의 방법대로, 같은 길이를 만들기 위해 원을 사용한다.  반지름을 그릴 때, 한 끝점은 원의 중심과 일치하고, 또 다른 한 끝점은 원 위의 점이 되도록 유의하여야 한다.

(3) 정삼각형: 역시 원을 이용한다.

<문제 1.1> 도구들만을 사용하여, 선분과 그 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 주어진 점을 한 끝점으로 하고 주어진 선분과 길이가 같은 선분을 작도하여라.

[예제 1.2] ‘이차방정식  의 해는  이다.’ 라는 문장(문자열)을 GSP 스케치 안에 써 보자.

글 도구  를 클릭하고 스케치(화면)의 빈 곳에서 더블클릭하거나 드래그하여 글상자를 만든 뒤 글을 쓰면 된다.  글을 쓰는 동안 문자열 도구모음이 나타나는데 워드프로세서처럼 글자 모양과 색 등을 설정을 할 수 있다. 수식 기호 버튼  을 클릭하면 수식을 입력할 수 있는 도구모음이 나타나므로 여러 가지 수학 기호나 지수, 분수, 근호 등을 입력할 수 있다.  글 도구  는 점이나 원 등 다른 개체에 이름을 붙이거나 이름을 바꿀 때, 이미 만들어진 글상자의 내용을 편집할 때도 사용된다.

참고 1) 글상자의 편집을 끝내려면 스케치(화면)의 빈 곳을 클릭하거나 ESC 키를 누른다.

참고 2) 만들어진 글상자 개체의 오른쪽 아래에 있는 크기 조절점을 끌어서 글상자의 크기를 조절할 수 있다.

참고 3) 만들어진 글상자의 위치를 옮기려면, 다른 개체를 옮길 때와 마찬가지로 화살표 도구  를 사용해 끌면 된다.

<문제 1.2> 다음 그림과 같이 도형에 이름을 붙여 보자.  ( 과 같이 첨자를 쓴 이름은 c[1] 과 같이 입력한다.)

2. 작도 메뉴

선 도구와 원 도구를 사용하면 작도는 원리적으로 모두 가능하다.  그러나 모든 작도를 자와 컴퍼스만 가지고 하는 것은 매우 지루한 일이다.  그래서 우리가 ‘기본 작도’ 라는 것을 배우고 그것들은 일일이 작도 과정을 설명하지 않고 ‘점 P에서 직선 l 에 수선을 그린다.’ 와 같이 말하고 넘어 가듯이, GSP 에서도 기본적인 작도를 한번에 해 주는 명령들을 작도 메뉴에 모아 놓고 있다.  작도 메뉴에 있는 명령들은 몇 개의 개체를 선택한 상태에서 활성화되는데, 자세한 내용은 도움말이나 사용자 설명서를 참조하기 바란다.

[예제 2.1] 주어진 선분 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABC 를 작도하여라.

① 선분 AB를 그린다. (즉, 선분을 그린 후 끝점의 이름을 각각 B, C 라고 붙인다.)

② 선분 AB의 중점 M을 작도한다.  즉, 선분을 선택한 뒤 작도 메뉴에서 중점 명령을 내린다.

③ M을 중심으로 하고 A와 B를 양 끝점으로 하는 호(반원)을 그린다. (M, A, B의 순서로 선택한 뒤 작도 메뉴에서 원 위의 호 명령)

④ 반원 위에 한 점 C를 잡고 선분 BC, CA를 그린다.

⑤ 반원은 C 를 잡기 위한 것이었고, 이제 혼란만 줄 뿐이므로 숨긴다. (반원을 선택한 뒤 보기 메뉴의 호 숨기기)

참고 1) 개체(도형이나 버튼, 수식 등)을 숨기면 보이지만 않을 뿐 다른 개체와의 수학적 관계는 유지된다.  반면 개체를 지우면 (Del 키, 또는 편집 메뉴의 지우기 명령) 아예 없어져 버리므로 그 개체를 사용하여 만들어진 개체(하위 개체)들까지 한꺼번에 지워진다.

참고 2) 숨기기 기능은 자주 사용되므로 단축키인 Ctrl+H 를 알아 두는 것이 좋다.

참고 3) 숨겨야 하는 도형을 지웠다든지 하는 실수를 해도 걱정할 필요 없다.  편집 메뉴의 취소 명령으로 지금까지 한 모든 작업을 차례로 취소할 수도 있고, 취소한 명령을 재실행할 수도 있다. (취소 명령의 단축키: Ctrl+Z)

⑥ 각 꼭지점을 끌어 보아 각 C 가 직각을 유지함을 확인한다.

<문제 2.1> 다음의 작도를 하여라.

(1) 주어진 선분을 직각을 낀 한 변으로 하는 직각삼각형	(2) 평행사변형

(3) 주어진 선분을 밑변으로 하는 이등변삼각형	(4) 정사각형

[예제 2.2] 임의의 삼각형이 주어져 있을 때, 그 수심을 작도하여라.  삼각형을 변형해도 그 점은 항상 수심이어야 한다.

① 삼각형 ABC 를 그린다. (즉, 세 꼭지점의 이름을 각각 A, B, C 라 붙인다.)

② 점 A에서 대변에 내린 수선을 작도한다.  즉, A와 그 대변인 선분 BC를 선택하고 작도 메뉴의 수선 명령을 내린다.

③ 마찬가지로 B, C에서 각각의 대변에 내린 수선을 작도한다.

④ 꼭지점을 끌어 삼각형을 변형시켜도 항상 세 수선이 한 점에서 만남을 확인한다.  이 교점이 삼각형의 수심이다.

⑤ 교점을 클릭하면 점이 만들어진다.  이 점은 작도된 점으로서 자유롭게 움직일 수 없지만 이름을 붙이거나 다른 도형의 작도에 사용될 수 있다.  이 점의 이름을 H 라고 붙인다.

⑥ 중간 과정에서 나타난 세 수선은 보이지 않도록 숨기는 것이 좋다.

<문제 2.2> 주어진 삼각형의 내심, 외심, 무게중심을 작도하여라.

3. 애니메이션

도형들을 움직이면서 그 결과를 관찰할 수 있는 ‘동적 기하’ 를 구현하는 가장 기본적인 방법은 마우스로 도형들을 끌어 보는 것이다.  그것을 자동화한 것이 애니메이션인데, 애니메이션을 잘 사용하면 재미있는 움직이는 그림을 만들 수 있다.  애니메이션이 이루어지고 있는 동안에도 선택, 작도 등 GSP 의 모든 작업이 가능하며, 애니메이션 제어판으로 속도 조절, 일시 정지 등의 작업을 할 수도 있다.

[예제 3.1] 삼각형의 한 꼭지점이 원 위를 움직일 때, 수심의 자취를 알아 볼 수 있는 스케치를 만들어라.

① 삼각형 ABC 와 그 수심 H를 작도한다. (예제 2.2 참조)

② 점 A 를 원 위에서 움직이게 하기 위해 원을 하나 그리고, 점 A 와 그 원을 선택한 뒤 편집 메뉴의 ‘원에 점 병합’ 명령을 사용한다.  자유로운 점이었던 A 가 원 위의 점으로  정체성(?)이 바뀐다. (처음부터 점 A 를 원 위의 점으로서 만들어도 됨)

③ 수심 H 가 흔적을 남기게 한다.  즉, H 를 선택하고 보기 메뉴의 흔적 남기기 명령을 사용한다.

④ 마우스로 점 A 를 끌어 원 위에서 움직이면서 흔적을 관찰한다.  흔적을 지우려면 보기 메뉴의 흔적 지우기 명령을 사용한다.

⑤ 마우스로 끌어서 움직이는 대신, 일정한 속도로 자동으로 움직이도록 하기 위해 점 A 를 선택하고 보기 메뉴의 애니메이션 명령을 사용한다. (단축키: Alt+□)

⑥ 애니메이션 제어판을 사용하면 움직이고 있는 개체(도형)의 속도, 방향을 바꿀 수 있고, 특정한 도형을 정지시키거나 모든 움직임을 일시정지시키는 등의 작업을 할 수 있다.

참고 1) 특정한 개체(들)를 선택하면 그것이 애니메이션 제어판의 ‘대상’ 이 되어 속도 조절, 방향 바꾸기, 정지, 시작 명령이 그 개체(들)에만 적용된다.  아무 것도 선택되어 있지 않으면 현재 움직이고 있는 개체 전부가 대상이 된다.

참고 2) 개체가 움직이기 때문에 선택하기 어려울 때는 애니메이션을 ‘일시정지’ 시키고, 선택을 한 다음, 다시 ‘일시정지’ 버튼을 누르면 된다.  일시정지는 ‘대상’ 과 관계 없이 무조건 모든 움직임을 멈춘다.

참고 3) 개체를 선택하고 편집 메뉴의 동작 버튼 하위메뉴의 애니메이션 명령을 사용하면 각각의 개체의 움직임을 상세히 조정하고, 그것을 기억했다가 나중에 실행할 수 있다.

⑧ 단순히 보는 것만이 아니고 자취를 하나의 도형으로 만들려면 A 와 H 를 선택하고 작도 메뉴의 자취 명령을 사용한다. (A 가 움직일 때 H 의 자취) 그러면 원의 위치나 크기, 삼각형의 모양에 따라 달라지는 자취를 바로바로 관찰할 수 있다.

<문제 3.1> 한 점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점들의 자취, 즉 초점과 준선이 주어진 포물선을 그려라.

4. 측정 메뉴

선분의 길이나 각의 크기, 다각형의 넓이, 또는 그것들의 비 등, 도형의 성질 중에서 수로 나타낼 수 있는 것이 많다.  측정 메뉴에는 도형에 대한 수치를 측정하고 계산하는 명령들이 있다.  길이나 넓이 등에 대한 어떤 명제가 정말 참인지 ‘실험’ 해 볼 때 자주 사용되는 것이 이 측정 메뉴인데, 예를 들어 ‘삼각형의 무게중심은 각 중선을 2:1 로 나눈다.’ 라는 명제를 확인해 보기 위해 실제로 삼각형의 무게중심을 작도하고 길이의 비를 측정해 보는 것이다. 물론 실험은 증명을 대신할 수 없지만 실험으로 반례를 쉽게 찾을 수도 있고, 실험이 증명의 힌트를 주는 일도 많다.  ‘실험’ 을 해 볼 수 있다는 것은 GSP 가 구현하는 ‘동적 기하(dynamic geometry)’ 의 핵심적인 특징 중의 하나이다.

[예제 4.1] 원 위에 네 점 A, B, C, D 가 있고 직선 AB 와 직선 CD 의 교점을 P 라 할 때 항상
임을 확인해 볼 수 있는 스케치를 만들어라.

① 원을 그리고, 원 위의 점 A, B, C, D 를 잡는다.

② 직선 AB, CD 를 작도한다.  (선분이 아니라 직선임.  직선 도구 사용)

③ 두 직선의 교점을 P 라한다.  P 는 원 내부에 있을 수도 있고 외부에 있을 수도 있다.

④ 두 직선은 숨기고 선분 PA, PB, PC, PD 를 그린다.

⑤ 선분을 선택한 후 측정 메뉴의 길이 명령으로 선분의 길이를 측정한다.  여러 선분을 차례로 선택하고 명령을 사용하면 모든 선분의 길이가 한꺼번에 측정되어 나타난다

⑥ 계산기(측정 메뉴의 계산 명령)에서  와  의 값을 계산한다.  이 때, 예를 들어 계산할 식에  의 값을 사용하려고 하면 스케치 화면에서  를 클릭하면 된다.

⑦ 두 값이 같음을 확인한다.

<문제 4.1> 피타고라스의 정리를 실험으로 확인할 수 있는 스케치를 만들어라.

5. 매개변수

GSP 에서 유일하게 독립적인 도형은 점이다.  예를 들어 선분은 양 끝점을 가지고 만들어진 것이므로 선분을 옮기거나 변형한다는 것은 양 끝점의 위치를 바꾸는 것이다.  마찬가지로 유일하게 독립적인 수치 개체는 매개변수이다.  매개변수는 독립적으로 값을 바꿀 수 있는 수치로서, 도형에서 점이 하는 일을 수치에서는 매개변수가 한다고 말할 수 있다.

[예제 5.1] a, r, n의 세 값을 입력하여 [eqn: a LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{n}] 의 값을 계산하여라.

① 그래프 메뉴의 새 매개변수 명령으로 매개변수 a 를 만든다. 값은 우선 10으로 해 보자.

② 마찬가지로 매개변수 r, n을 만들고 값은 각각 0.06, 6 으로 하자.

③ 측정 메뉴의 계산 명령으로 계산기를 연다.

④ a*(1+r)^n 과 같이 원하는 수식을 입력한다.  이 때 a, r, n은 화면에서 해당 매개변수를 클릭하면 입력된다.

⑤ 확인 버튼을 눌러 계산기에서 빠져 나온다.  계산식과 그 값이 화면에 나타난다.

⑥ 매개변수 a, b, c 각각은 더블클릭(또는 선택하고 편집 메뉴의 매개변수 편집)하여 값을 바꾸거나, 선택한 후 ‘+’ 또는 ‘-’ 키를 눌러 값을 증가 또는 감소시킬 수 있다.  그러면서 계산식의 값의 변화를 관찰한다.

⑦ 매개변수도 애니메이션을 줄 수 있다.  사실, 애니메이션을 줄 수 있는 개체는 점과 매개변수 뿐이다.

참고 1) ‘+’ 또는 ‘-’ 키를 눌러 매개변수 값을 바꿀 때, 기본적으로 한번에 1 씩 바뀐다.  각 매개변수의 속성 대화상자의 매개변수 탭에서 1 이 아닌 다른 값만큼씩 바뀌도록 조정할 수 있다. (매개변수를 선택하고 편집 메뉴의 속성 명령)

참고 2) 계산식을 더블클릭하거나, 계산식을 선택한 뒤 편집 메뉴의 계산식 편집 명령을 함으로써 계산식을 수정할 수 있다.  계산식이 편집되면 그 값도 자동으로 바뀌며, 그 값을 이용하여 만든 다른 개체들도 거기에 맞게 바뀐다.

<문제 5.1> 직각을 낀 두 변의 길이를 입력하여 직각삼각형을 그리고, 그 빗변의 길이를 측정하여라.

6. 함수와 그래프

함수는 GSP4 에서 새로 생긴 개체로서, 수학적인 함수에 대한 많은 작업을 가능하게 한다.  함수를 만들면 특정한 값에 대응하는 함수 값을 계산할 수도 있고, 그 함수의 그래프를 그릴 수도 있으며, 함수를 미분하여 도함수를 구할 수도 있다.

[예제 6.1] 이차함수  의 그래프를 그리는 스케치를 만들어라.  여기서 a, b, c 는 매개변수를 사용하여 나중에 값을 바꿀 수 있도록 하여라. (같은 방식으로 삼차함수, 사차함수는 물론 삼각함수 등 GSP 의 계산기에서 표현할 수 있는 임의의 함수의 그래프를 그릴 수 있다.)

① 매개변수  a, b, c를 만든다.

② 그래프 메뉴의 새 함수 명령을 내리면 오른쪽 그림과 같은, 계산기(측정 메뉴의 계산)와 거의 똑같은 기능을 가진 함수 편집 대화상자가 나타난다.  여기에 함수의 식을 입력한다.  a, b, c 는 화면에서 클릭하면 식에 들어간다.

참고 1) 함수 이름은 f, g, h 등등으로 자동으로 붙여진다.  이 이름은 나중에 속성 대화상자의 이름표 탭에서 바꿀 수 있다.

참고 2) 만들어진 함수의 독립변수(여기서는 x)에 특정한 값을 대입하여 함수값을 계산하려면 계산기(측정 메뉴의 계산)가 열려 있는 상태에서 함수를 클릭하고 괄호 안에 값을 입력한다.

③ 함수  를 선택하고 그래프 메뉴의 함수의 그래프 명령을 내린다.  좌표계가 자동으로 설정되면서 그래프가 그려진다.

④ 함수를 더블클릭(또는 선택하고 편집 메뉴의 함수 편집)하면 식을 편집할 수 있다.  함수의 식을 바꾸면 그에 따라 그래프까지 자동으로 바뀐다.

<문제 6.1> 함수  의 그래프를 그려라.

[예제 6.2] 주어진 함수의 그래프에서 주어진 직사각형(변이 좌표축과 평행한) 안에 있는 부분만 그리는 스케치를 만들어라.

단순히 함수 식을 입력하여 그래프를 그리는 경우가 아닐 때는 함수의 그래프 기능을 사용하지 못하는 경우가 많으며 ‘자취’ 기능을 사용하게 된다.

① [예제 6.1] 에서와 같이 매개변수 a, b, c 와 함수  를 만든다. (함수 식은 나중에 바꿀 수 있음)

② 좌표평면 위의 임의의 두 점 A, B 를 잡고 그 두 점에서 각각 두 좌표축에 평행한 직선을 그린다(점과 좌표축을 선택하고 작도 메뉴의 평행선).  그래서 만들어진 x 축 위의 두 점을 C, D 라 하고 y 축 위의 두 점을 E, F 라 한다.  또한 평행선들을 숨기고 선분으로 직사각형을 그린다.

③ C에서 D까지, E에서 F까지 화살표를 그린다. (기본으로 들어 있는 사용자 도구를 사용하거나 사용자 도구를 새로 만들어 사용)

④ 좌표축과 격자를 숨긴다.

⑤ 점 E, F 의 y 좌표를 측정하여 그 이름을 각각 m 과 M 으로 붙인다(최소값, 최대값).

⑥ f(x) 의 값이 m과 M 사이에 들어올 때는 f(x) 와 같은 값을 갖고,  f(x) 가 m보다 작거나 M보다 큰 경우 정의가 되지 않는 함수 g(x) 를 정의한다.  예를 들어 [eqn: g(x)=f(x) cdot sqrt{rm sgn it ((M-f(x)) cdot (f(x) - m))}] 로 하면 된다.  여기서 sgn() 함수는 괄호 안의 값의 부호를 계산하는 함수로서 괄호 안의 수가 양수이면 1, 0이면 0, 음수이면 -1 의 값을 갖는다. (그래프 메뉴의 새 함수)

⑦ 선분 CD 위의 한 점 P 를 잡고 그 x 좌표를 측정(점을 선택하고 측정 메뉴의 x 좌표)하여 그 측정값의 이름을 [eqn: x_1] 라고 붙인다.

⑧ 측정값 [eqn: x_1] 을 함수 g 에 대입하여 나오는 값을 계산한다. (측정 메뉴의 계산 명령. 함수를 클릭하면 그 함수를 사용할 수 있다.)

⑨ 점 (x, g(x)) 를 만든다(두 값을 차례로 선택하고 그래프 메뉴의 (x, y) 좌표가 주어진 점 명령). 그 점의 이름을 Q 라 붙인다.

⑩ P 가 움직일 때 Q 의 자취를 만든다. (두 점을 선택하고 작도 메뉴의 자취 명령)

⑪ a, b, c 의 값을 바꾸거나 A, B 의 위치를 바꿔 가면서 그래프의 변화를 관찰한다.

이 그래프를 복사하여 워드프로세서 등 다른 프로그램으로 옮길 때, 필요한 것만 선택할 수 있게 하는 기능도 같이 알아보자.

⑫ 필요한 개체들만 선택한다. (좌표축의 역할을 하는 화살표, 원점, 그래프 등)

⑬ 편집 메뉴의 동작버튼 부메뉴에서 숨기기/보이기 명령으로 버튼을 만든다.  이 버튼을 누르면 선택된 개체들이 숨겨지고, 다시 한 번 누르면 보여진다.

⑭ 이 버튼에 대한 속성 대화상자의 숨기기/보이기 탭에서 ‘항상 보이기로 작동함’ 을 선택한다.  이름표 탭에서 이름도 ‘가져갈 개체 선택’ 등 다른 것으로 바꾼다.

⑮ 이제 버튼을 누르면 숨겨지지는 않고 선택만 된다.

<문제 6.2> 주어진 점을 그래프의 꼭지점으로 하고, 주어진 매개변수의 값을 식의 이차항의 계수(a)로 하는 이차함수의 그래프를 그려라.

[예제 6.3] 매개변수함수 ,  로 주어지는 곡선(사이클로이드, cycloid)을 그려라.

한 점 P 로 하여금 t 값을 결정하게 하고 그 t 값으로 x, y 값을 계산하여 그것을 좌표로 하는 점 Q 를 찍은 뒤, ‘P 가 움직일 때 Q 의 자취’ 를 만든다.

① x 축 위에 한 점 P 를 잡는다. (t 의 정의역을 정하고 싶으면 위의 예제에서와 같이 x 축의 일부인 선분 위의 점으로서 P를 잡는다.)

② P 의 x 좌표를 측정한다.  그 값을 t 라 한다.

③ 두 계산값 ,   를 계산한다.  이것이 각각 x, y 좌표가 된다.

참고) sin, cos 와 같은 함수는 계산기의 오른쪽 아래에 있는 함수 메뉴에서 선택한다.

④ x, y 값을 순서대로 선택하고 그래프 메뉴의 (x, y) 좌표가 주어진 점 명령으로 점 Q 를 만든다.

⑤ P 가 움직일 때 Q 의 자취를 만든다.  즉, P, Q 를 선택하고 작도 메뉴의 자취 명령을 내린다.

7. 반복

반복(iteration) 역시 GSP4에서 추가된 획기적인 기능이다.  예를 들어 ,  라는 점(또는 매개변수)에서 출발하여 어떤 과정을 거쳐 ,  이라는 점(또는 계산값)이 만들어졌을 때, 지금까지 ,  에다 했던 과정을 ,  에 그대로 적용하고, 그래서 만들어지는 ,  에 다시 그 과정을 적용하는 식으로, 정해진 회수(반복의 깊이)만큼 반복하는 것이다.  도형에서는 프랙탈, 수치에서는 수열이 대표적인 응용 예이지만, 반복은 매우 다양한 곳에 적용할 수 있다.

[예제 7.1] 프랙탈 도형인 시에르핀스키 삼각형(Sierpinski Triangle, Sierpinski Gasket)을 그려라. (원래 무한히 많은 단계의 도형들이 있으므로 실제로는 처음 몇 단계만을 그림)

① 삼각형 ABC 를 그리고 변 BC, CA, AB 위에 각각 점 D, E, F 를 잡는다.

② A, B, C 를 가지고 반복하되 A, F, E 로 한 번, F, B, D 로 한 번, E, D, C로 한 번 등 세 개의 대응을 만든다. (대화상자의 규칙 메뉴의 대응 추가)

③ 대화상자의 규칙 메뉴에서 점이 아닌 개체만, 표시 메뉴에서 마지막 단계의 개체만을 선택하고 실행한다.

(참고) D, E, F 의 위치를 옮기면 반복된 개체들도 그 상대적 위치를 따라 바뀌는데, 반복된 개체의 속성 대화상자에서는 이렇게 되지 않고 각 단계마다 무작위의 점이 만들어지도록 설정할 수도 있다.

<문제 7.1> 코흐 곡선(Koch Curve) 를 그려라.  또한, 코흐 곡선을 그릴 수 있는 사용자 도구를 만들어라.

8. 변환

GSP 에서 변환이란, 어떤 도형을 평행이동(translate)하거나, 회전이동(rotate)하거나 선대칭이동(reflect)하거나 닮음변환(dilate, 확대/축소)하여 새로운 도형을 만드는 것을 말한다.  따라서 변환을 위해서는 대상이 되는 도형 외에도 평행이동을 결정하는 벡터, 회전이동을 결정하는 중심 및 회전각, 닮음변환을 결정하는 중심 및 비율, 선대칭이동을 결정하는 대칭축 등이 필요한데, 이런 것들은 변환을 할 때마다 선택하지 않고 ‘지정(mark)’ 명령을 통하여 미리 기억해 두었다가 사용하게 된다.  실제로 사용될 때는 삼각형이나 원 같은 도형 전체보다는 점들만을 변환하게 되는 일이 많다.

[예제 8.1] 삼각형 ABC 와, 길이인 매개변수 m 과 n, 각인 매개변수 a 가 있을 때,

(1) 오른쪽으로 3cm, 아래쪽으로 2cm 만큼 평행이동시켜라.

(2) 방향각 30° 인 방향(즉, 수평 오른쪽 방향으로부터 반시계방향으로 30° 만큼 간 방향) 으로 m 만큼 평행이동시켜라.

(3) 방향각 a 인 방향으로 5cm 만큼 평행이동시켜라.

(4) 방향각 a 인 방향으로 n 만큼 평행이동시켜라.

(5) 오른쪽으로 m, 위쪽으로 n 만큼 평행이동시켜라.

(6) 벡터 BC 만큼 평행이동시켜라.

모두 방법은 같다.

① 변환에 필요한 요소들을 선택하여 변환 메뉴에서 지정(거리 지정, 각 지정, 벡터 지정)한다.  수치를 직접 입력할 것은 지정을 하지 않아도 된다.

(참고1) 이 때, 가로/세로 방향의 거리를 따로따로 지정할 수는 없으나 대화상자가 열린 후에는 지정할 수 있다.  다음 단계(②)를 참조.

(참고2) 벡터를 선택한다는 것은 시작점, 끝점의 순서로 두 점을 선택한다는 것이다.

② 변환의 대상인 도형을 선택하고 변환 메뉴에서 평행이동 명령을 내린다.  열리는 대화상자에서 세부적인 사항을 입력 또는 선택한 뒤 실행 버튼을 누른다.  대화상자가 열린 상태에서 스케치의 도형이나 값을 클릭하여 벡터나 거리, 각 등을 지정할 수도 있다.

<문제 8.1> 평행이동을 사용하여, 세 꼭지점이 주어져 있을 때 평행사변형을 그려라. (작도라고 할 수는 없음)

[예제 8.2] 삼각형 ABC 와, 각인 매개변수 a 가 있을 때,

(1) B 를 중심으로 시계 방향으로 90° 만큼 회전이동시켜라.

(2) B 를 중심으로 각 ABC 만큼 회전이동시켜라.

(3) C 를 중심으로 a 만큼 회전이동시켜라.

평행이동보다는 변환의 요소를 지정하는 방법이 다양하지 않다.

① 중심과 각(즉 회전각)을 지정한다.

(참고1) 각 ABC 를 선택한다는 것은 A, B, C 의 순서로 세 점을 선택한다는 것이다.

(참고2) 회전이동(또는 닮음변환)의 중심을 지정하려면 그 점을 더블클릭해도 된다.

② 변환 메뉴의 회전이동 명령으로 대화상자를 열고 중심과 회전각을 입력하거나 지정하고 실행한다.

(참고3) 대화상자가 열려 있는 상태에서 점을 클릭하면 그 점이 중심으로 지정된다.  각인 수치 개체(매개변수, 계산값, 측정값)를 클릭하면 그 값이 회전각으로 지정된다.  그러나 세 점으로 회전각을 지정하는 것은 대화상자가 열리기 전에만 할 수 있다.

<문제 8.2> 각각 시, 분, 초를 나타내는 매개변수 h, m, s 가 주어져 있을 때, 그 시각을 그림으로 표현하는 스케치를 만들어라.  s 의 값이 변하면 초침뿐만 아니라 분침과 시침도 적당히 움직이고, m 의 값이 변하면 분침뿐만 아니라 시침도 적당히 움직여야 한다.

<문제 8.3> 선대칭이동(대칭축 지정 뒤 대상 도형을 선택하고 변환 메뉴의 선대칭이동)을 이용하여, 정삼각형의 만화경에 비친 모습을 보여 줄 수 있는 스케치를 만들어라.

[예제 8.3] 삼각형 ABC 를, 다른 한 점 O를 중심으로 닮음변환시키되, 비율(닮음비)을 다음과 같이 주어 변환하여라.

(1) 직접 입력(예를 들어 2/3)

(2) 매개변수(또는 측정값, 계산값)로 지정

(3) 두 선분으로 비율 지정

(4) 한 직선 위의 세 점으로 비율 지정

① 중심과 비율(즉 닮음비)을 지정한다. (선택한 뒤 변환 메뉴에서 지정, 지정하지 않아도 대화상자가 열렸을 때 직접 입력하거나 지정할 수 있음.  단, 세 점으로 비율을 지정하는 것은 대화상자가 열린 상태에서는 안됨)

(참고1) 중심을 지정하려면 그 점을 더블클릭해도 된다.

(참고2) 두 선분으로 닮음변환의 비율을 지정하려면, 두 선분을 선택하고 변환 메뉴에서 두 선분으로 비율 지정 명령을 내린다.  먼저 선택한 선분의 길이를 분자, 나중에 선택한 선분의 길이를 분모로 하는 비율이 지정된다.

(참고3) 세 점으로 닮음변환의 비율을 지정하려면, 한 직선 위에 있는 세 점을 선택하고 (이들을 순서대로 O, I, P 라 하자) 변환 메뉴에서 세 점으로 비율 지정 명령을 내린다.  그러면 OP/OI, 다시 말해 수직선에서 O 를 원점, I 를 단위점으로 간주했을 때 P 의 좌표가 비율로서 지정된다.  따라서 I 와 P 가 O 를 중심으로 다른 쪽에 있으면 비율은 음수가 된다.  이 세 점이 그 순서대로 선택된 상태에서 측정 메뉴의 비율 명령을 내리면 그 비율을 수치로 얻을 수 있다.

② 변환 메뉴의 닮음변환 명령으로 대화상자를 열고 중심과 비율을 입력하거나 지정하고 실행한다.

(참고4) 대화상자가 열려 있는 상태에서 점을 클릭하면 그 점이 중심으로 지정된다.  단위가 없는 수치 개체(매개변수, 계산값, 측정값)를 클릭하면 그 값이 닮음비로 지정된다.  그러나 세 점으로 비율을 지정하는 것은 대화상자가 열리기 전에만 할 수 있다.

<문제 8.4> 두 삼각형 ABC, DEF 가 주어져 있을 때, 선분 OI 위의 점 P 를 O 에서 I 로 옮김에 따라 삼각형 ABC 에서 삼각형 DEF 로 변형되어 가는 삼각형 XYZ 를 만들어라.  (힌트: 예를들어 점 X 는 A 를 중심으로 하고 세 점 O,I,P 로 지정된 비율을 닮음비로 하여 D 를 닮음변환)

[예제 8.4] 유클리드의 원론에 따른 피타고라스의 정리의 증명을 시각적으로 보여 주는 스케치를 만들어라.

① 선분  위에 두 점 ,  를 잡고 , , ,  를 지나는 선분  의 수선들 위에 각각 , , ,  를 잡아 선분 , ,  를 그린다.

② 다시 선분  위에 한 점 X 를 잡고 X 를 지나는 선분 PQ 의 수선을 그린다.  이 수선과 선분  과의 교점을 , 선분  와의 교점을 ,  와의 교점을  라 한다. (X 의 위치에 따라 , ,  중 하나만이 나타남)

③ 한 선분 AB 를 빗변으로 하는 직각삼각형을 그린다. (선분 AB 를 지름으로 반원 위에 점 C 를 잡음) 세 변 위에 각각 정사각형을 그린다.  또한, C 에서 변 AB 에 수선을 내려 사각형과의 교점을 잡는다.  이 때 생기는 점들의 이름은 오른쪽 그림과 같이 붙인다.

④ X 를 옮겨  이 나타나게 한 뒤 , ,  으로 비율을 지정하고 점 C 를 중심으로 지정하여 B 를 닮음변환시킨다.  이 때 얻어지는 점을  이라 하고  삼각형  의 내부를 만든다.

⑤ X 를 옮겨  가 나타나게 한 뒤 , ,  로 결정되는 비율을 측정한다. (세 점을 순서대로 선택하고 측정 메뉴의 비율) 그 비율에  를 곱한 계산값을 만들어 이름을 a 라 붙인다.

⑥ a 를 회전각으로 지정하고 A 를 중심으로 지정하여 점 B 와 점 H 를 회전이동시킨다.  이 때 얻어지는 점을 각각 ,  이라 하고 삼각형  의 내부를 만든다.

⑦ X 를 옮겨  가 나타나게 한 뒤 , ,  로 비율을 지정하고 점 C 를 중심으로 지정하여 M 을 닮음변환시킨다.  이 때 얻어지는 점을  이라 하고  삼각형  의 내부를 만든다.

⑧ 이제 X 를 P 에서 Q 까지 움직이면서 삼각형이 변형되어 감을 관찰한다.  보여줄 필요가 없는 개체들은 숨긴다.

<문제 8.5> 잘라 붙이는 피타고라스의 증명을 보여 주는 스케치를 만들어라. (여러 가지 방법이 있음)

9. 가변색

어떤 값(측정값, 계산값, 매개변수)에 따라 도형의 색이 결정되도록 하는 기능이다.  단순한 시각적 효과를 넘어서 지도의 등고선과 같이 유용한 정보를 보여 줄 수 있다.

[예제 9.1] 두 점 A, B 로부터 시작하는 반복을 사용하여 다음 그림과 같은 ‘피타고라스 나무’를 만들어라.

① 두 점 A, B를 잡는다.

② 선분 AB 위에 정사각형을 그린다. (기본 제공되는 사용자 도구를 사용하면 편리하다.   를 누르고 있으면 나타나는 메뉴에서 선택한다.)

③ 그림처럼 정사각형의 윗변(선분 AB의 대변)을 지름으로 하는 반원을 그리고 그 위에 한 점 E를 잡는다. (예제 2.1 참조)

④ 정사각형 밖의 적당한 위치에 선분 OX를 그리고 각 XOA를 측정한다.

⑤ 각 XOA의 크기에 따라 사각형의 색이 변하도록 가변색을 설정한다.  즉, 각 XOA와 사각형 내부를 선택하고 보기 메뉴의 색 부메뉴의 가변색 명령을 내리고, 나타나는 대화상자에서 값의 범위를 0부터 90까지 정도로 설정한다. (0일 때 보라, 90일 때 빨강)

⑥ 변 DC의 중점, 반원, 각의 측정값을 숨긴다. (반복에 의해 불필요한 개체가 많이 생기는 것 방지)

⑦　(A, B)로부터 출발하여 지금까지 한 작업을 (D, E)와 (E, C)에 적용시키도록 반복을 실행한다.  이 때, 대응이 두 개이므로 하나를 먼저 설정하고 대화상자의 규칙 메뉴(버튼)의 대응 추가 명령으로 대응을 추가한다.

⑤ 반복을 실행한다.  반복된 개체를 선택한 상태에서 ‘+’ 와 ‘-’ 키로 반복의 깊이를 바꿀 수 있다.  또한 A, B, E 의 위치를 바꾸어 가면서 그림의 변화를 관찰해 보자.

<문제 9.1> 꺾은선 ABC 를, 꺾어진 각도와 변의 길이의 비를 유지하도록 50 번 정도 연장해서 나선 모양을 그려라.

[예제 9.2] 가변색을 사용하여 좌표평면의 일정한 부분에서 함수  의 값의 분포를 시각적으로 보여 주는 스케치를 만들어라.

① 좌표축을 설정하고 그림과 같이 직사각형 PQRS를 그린다.  이 사각형의 변은 모두 좌표축과 평행해야 한다.

② 변 PQ 위에 한 점 x, 변 QR 위에 한 점 y를 잡고, 그 점들을 지나면서 각각 y 축, x 축과 평행인 직선의 교점을 Z라 하자.  평행선들은 숨긴다.

③ Z의 x 좌표를 측정하여(Z 선택하고 측정 메뉴의 x 좌표 명령) 그 이름을 x 라 하고, Z의 y 좌표를 측정하여 그 이름을 y 라고 하자.

④ 측정 메뉴의 계산 명령으로  를 계산한다.

⑤ 그 계산값에 따라 점 Z의 색이 변하도록 Z에 가변색을 설정한다. (Z를 선택하고 보기 메뉴의 색 부메뉴의 가변색)

⑥ 점 x, y를 움직이면서 Z의 색이 변하는지 확인하고, x 가 움직일 때 Z(사실은 Z는 숨어 있고 이 점은 새로운 점임)의 자취를 구한다. (x, Z를 선택하고 작도 메뉴의 자취)

⑦ 그려진 자취에 흔적을 남기게 한다. (자취 선택하고 보기 메뉴의 흔적 남기기)

⑧ y를 움직여 사각형 PQRS가 흔적으로 가득 차도록 하고, 나타난 도형을 관찰한다.  마우스로 일정한 속도로 움직이는 것이 어려우면 키보드를 사용 (방향키를 누르면 선택된 개체가 움직임)하거나 이동, 애니메이션 기능을 사용할 수도 있다.

<문제 9.2> 위의 스케치를 편집하여  의 값의 분포를 시각적으로 보여 주는 스케치를 만들어라.

10. 사용자 도구

일반적인 프로그램에서 ‘매크로’ 라 불리는 것에 해당한다.  사용자 도구를 이용하면, 같은 작업을 여러 번 하는 것을 피할 수 있다.

[예제 10.1] 교과서에 흔히 나오는, 길이를 표시할 때 쓰이는 점선으로 된 호를 그리는 사용자 도구를 만들어라.

① 선분 AB 를 그리고 그 중점 M 을 잡는다.

② M 을 지나는 AB 의 수선을 그리고 그 위의 한 점 C 를 잡는다.

③ 호 ACB 를 그린다. (A, C, B 를 순서대로 선택하고 작도 메뉴에서 세 점을 지나는 호)

④ 호를 점선으로 바꾸고 (호를 선택하고 보기 메뉴의 선 굵기 하위메뉴) 호와 점 A, B, C 외의 모든 개체를 숨긴다.  점 C 의 이름은 숨기는 것이 좋다.  또한 호의 이름을 ‘3 cm’ 등으로 바꾼다.  이 때 이름 바꾸는 대화상자에서 사용자 도구에서도 이 이름 사용 확인란을 선택(체크표시)한다.  (나중에 사용자 도구를 사용해서 만들어진 호에도 같은 이름을 사용하라는 뜻.  이 확인란을 선택하지 않으면 호의 이름은 ,  등으로 붙여진다.)

⑤ 보이는 모든 개체를 선택하고 사용자 도구 메뉴 (  ) 에서 사용자 도구 만들기 명령을 내린다.  대화상자에서 사용자 도구의 이름을 ‘길이표시’ 로 하고 확인을 누른다.  사용자 도구가 만들어지고 현재 작업중인 문서(파일)에 추가된다.

(참고) 문서(*.gsp 파일)를 열어 놓으면 거기에 저장된 사용자 도구를 사용할 수 있다. (다른 파일에서 작업할 때도) 또한 GSP 가 설치된 폴더 (대개 C:\Program Files\Sketchpad) 안의 ‘Tool Folder’ 라는 이름의 폴더 안에 있는 문서 안의 사용자 도구는 GSP 를 시작할 때 자동으로 읽혀들여져서 사용할 수 있게 된다.

⑥ 이제, 예를들어 삼각형 DEF 가 있을 때, 사용자 도구 메뉴에서 ‘길이표시’ 를 선택하고 E, F 를 차례로 클릭하면 E 가 A 자리에, F 가 B 자리에 ‘대입’ 되어 사용자 도구가 실행되고, 점선인 호가 그려진다. (중간의 점 (점 C) 로 높이 조절, 이 점은 나중에 숨기면 된다.)

<문제 10.1> 각에 직각 표시를 하는 사용자 도구를 만들어라. (힌트: 실제 직각에만 직각 표시를 하는 것이 아님에 주의)

11. 동작버튼

동작버튼은 숨기기나 보이기, 애니메이션, 이동과 같은 동작을 한 번의 클릭으로 실행한다.  또한 ‘동시/연결 실행’ 버튼은 이들 동작버튼 여러 개를 동시에 또는 차례로 클릭하는 것과 같은 일을 한다.

[예제 11.1] 오각형을, 넓이가 변하지 않도록 사각형으로, 다시 삼각형으로 변형하는 과정을 보여 주는 스케치를 만들어라.

① 오각형 ABCDE 를 그린다.  변 CD 는 직선으로 그린다.

② 직선 AD 를 그린다. 점 E 를 지나는 직선 AD 의 평행선을 그리고 그것과 직선 CD 와의 교점을 P 라 한다.

③ 직선 EP 위의 한 점 E' 을 잡는다.

④ 직선 BP 를 그린다. 점 A 를 지나는 직선 BP 의 평행선을 그리고 그것과 직선 CD 와의 교점을 Q 라 한다.

⑤ 직선 AQ 위의 한 점 A' 을 잡는다.

⑥ A', A, E', E 의 순서로 네 점을 선택하고 편집 메뉴의 동작버튼 하위메뉴에서 이동 명령을 내린다.  대화상자에서 속도를 선택하면 버튼이 만들어진다.  이 버튼의 이름을 ‘원위치’ 라 붙인다.

⑦ 직선 AD, EP 를 선택하고 편집 메뉴의 동작버튼 하위메뉴에서 숨기기/보이기 명령을 내린다.  만들어지는 버튼의 속성 대화상자의 숨기기/보이기 탭에서 동작을 항상 보이기로 작동함으로 설정한다.

⑧ ⑦ 에서와 똑같이 하여 버튼을 하나 더 만들되, 동작을 항상 숨기기로 작동함 으로 설정한다.

⑨ E' 을 P 로 이동시키는 버튼을 만든다. (E', P 순서로 선택한 뒤 편집 메뉴의 동작버튼 하위메뉴에서 이동)

⑩ 위에서 만든 보이기, 이동, 숨기기 버튼을 차례로 선택하고 편집 메뉴의 동작버튼 하위메뉴에서 동시/연결 실행 명령을 내린다.  대화상자에서 실행 방법을 연결(순서대로)로 설정한다.  만들어지는 동작버튼의 이름을 ‘오각형->사각형’ 이라 붙인다.

⑪ 마찬가지로, 직선 BP, AQ 를 보이고, A' 을 Q 로 이동시키고, 다시 직선 BP, AQ 를 숨기는 동작을 차례로 실행하는 버튼을 만들어 ‘사각형->삼각형’ 이라 이름 붙인다.

⑫ 오각형 A'BCDE' 의 내부를 만든다.

⑬ 두 개의 ‘숨기기’ 버튼을 클릭하여 직선들을 숨기고, ‘원위치’  버튼을 클릭하여 점들을 출발 위치에 갖다 놓은 뒤 ‘오각형->사각형’, ‘사각형->삼각형’ 버튼을 차례로 클릭하여 오각형이 삼각형으로 등적변형되는 과정을 관찰한다.

<문제 11.1> 한 문서(*.gsp 파일) 안에 여러 개의 페이지를 만들고, 바로 가기 버튼으로 서로 연결시켜 보아라.  또한 컴퓨터 안의 다른 파일이나 프로그램, 인터넷 주소와도 연결시켜 보아라.

[예제 11.2] 함수  에서 각 x 에 대하여  를 접선의 기울기로 하는 곡선, 즉  의 적분곡선(중 하나)를 그려라.

① 함수  를 만들어 그 그래프를 그린다.  (여기서는 )

② 임의의 점 P 를 잡고 그 x 좌표  과 y 좌표  을 측정한다.

③  을 계산한다.

④  과  을 계산하고 이들을 각각 x, y 좌표로 하는 점 Q 를 만든다.

⑤ 반직선 PQ 를 그린다.

⑥ 원점과 단위점을 잇는 선분을 만들고, 그 선분의 길이를 반지름의 길이로 하고, 점 P 를 중심으로 하는 원을 그린다.

⑦ 원과 반직선의 교점을 R 이라 한다.  시각적 효과를 위해 P 에서 R 로 가는 화살표를 그린다.  (기본 제공되는 사용자 도구 사용)

⑧ 점 Q 와 반직선, 원 등은 숨긴다.

⑨ 점 P 를 R 로 이동시키는 이동 버튼을 만든다.  이 때 대화상자에서 이동중에 도착점이 움직일 경우 도착점을 따라감으로 설정한다. (디폴트)

⑩ 점 P 가 흔적을 남기게 한다.

⑪ 이제 점 P 를 임의의 위치(화면 왼편)에 놓고 버튼을 클릭하면 P 가 R 쪽으로 이동하면서 적분곡선을 그리게 된다.

<문제 11.2> 삼각형 ABC 가 있을 때, 버튼1 을 누르면 점 A 가 원  위를 움직이고, 버튼2 를 누르면 점 A 가 선분  위를 움직이고, 버튼3을 누르면 점 A 가 사각형 DEFG 주위로 움직이는 스케치를 만들어라. (힌트: 애니메이션과 이동을 사용)

12. 표

[예제 12.1] 선분 AB 위에 한 점 C 가 있고, AC 의 길이를 x 라 하자.  선분 AC 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 선분 CB 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합을 y 라 하자.  몇 개의 x 값에 대하여 y 를 직접 측정하여 표와 그래프로 나타내어라.

① 상황에 맞는 그림을 그린다.  A, C 의 거리를 측정하고 두 정사각형의 넓이의 합을 계산한다.

② 두 값(AC 와 DEAC+FGCB)을 선택하고 그래프 메뉴의 표 만들기 명령을 내린다.  표가 만들어진다.

③ C 를 임의의 위치에 놓고 표를 더블클릭하거나, 표를 선택하고 그래프 메뉴의 표에 자료 추가 명령을 내린다.  표에 자료 한 줄이 추가된다.

④ 이런 식으로 C 를 옮겨 가며 표에 몇 개의 자료를 추가한다.

⑤ 표를 선택하고 그래프 메뉴의 표의 자료로 점 찍기 명령을 내리면 표에 있는 자료를 좌표로 하는 점들이 좌표평면에 나타난다.

(참고) 실험에 의한 자료를 모을 때 표는 유용하다.  표로 쌓인 자료를 좌표평면에 점들로서 나타내 보면 어떤 법칙이 있는지 추측하는 근거가 될 수있다.

<문제 12.1> 원 O 와 한 점 P 가 있다. P 를 지나는 직선이 원과 만나는 점들을 A, B 라 할 때  의 값은 P 의 위치에 의해 정해진다.  OP 와  의 관계를 표와 그래프로 나타내어라.