문제>[eqn: a>0], [eqn: m,`n] : 유리수에 대하여, [eqn: a ^{m} TIMES a ^{n} =a ^{m+n}]…①의 증명

증명>[eqn: m= {q} over {p} ,``n= {s} over {r}]([eqn: p,`r,`q,s]:정수, [eqn: p,`r GEQ 2])두면,

[eqn: a ^{m+n} =a ^{{q} over {p} + {s} over {r}} =a ^{{qr+ps} over {pr}} = root {pr} of {a ^{qr+ps}}] 이므로,

①의 증명은 [eqn: a ^{m} TIMES a ^{n}] 이 양수이면서 [eqn: (a ^{m} TIMES a ^{n} ) ^{pr} =a ^{qr+ps}]임을 밝히면 충분하다.

(왜냐하면, 정의에 의하여 [eqn: A>0], [eqn: k GEQ 2] 일 때, [eqn: root {k} of {A}]은  양수로서 [eqn: k]제곱 하였을때, [eqn: A]가 되는 수이므로)

[eqn: a ^{m} TIMES a ^{n} =a ^{{q} over {p}} TIMES a ^{{s} over {r}} = root {p} of {a ^{q}} TIMES root {r} of {a ^{s}} >0] 이고,

[eqn: (a ^{m} TIMES a ^{n} ) ^{pr}][eqn: =(a ^{{q} over {p}} TIMES a ^{{s} over {r}} ) ^{pr} =( root {p} of {a ^{q}} TIMES root {r} of {a ^{s}} ) ^{pr}][eqn: =( root {p} of {a ^{q}} ) ^{pr} TIMES ( root {r} of {a ^{s}} ) ^{pr}]

[eqn: =[( root {p} of {a ^{q}} ) ^{p} ] ^{r} TIMES [( root {r} of {a ^{s}} ) ^{r} ] ^{p} =(a ^{q} ) ^{r} TIMES (a ^{s} ) ^{p} =a ^{qr} TIMES a ^{ps} =a ^{qr+ps}].   [eqn: -`q.e.d``-]