[문제1] 삼각형 ABC가 있습니다. 이 중 작도의 조건에는 30도인 각A와 ma 와 mb가 있습니     다. (mX는 X라는 점에서 그 대변의 중점에 내린 선) 어떻게 작도해야 할까요???

A

O'

B          G    E

D

C

<작도법>

위의 그림에서 ∠A=30° . AD=k, BE=m(D, E : 각 변의 중점)

먼저 BE(=m)를 작도한다. 위의 그림처럼 BE를 한 변으로 하는 정삼각형O′BE를 작도한다.

점O‘를 중심으로 반지름이 m인 원을 작도하면 구하고자 하는 삼각형의 꼭지점A는 원O’의 원주상(위의 그림에서 BE의 위쪽)에 있어야한다.

<이유>삼각형ABE의 외접원의 반지름을 R이라 두면 사인법칙에 의하여

[eqn: 2R= {BE} over {SinA} = {m} over {Sin30°} =2m,``` THEREFORE R=m] .

반직선O‘E의 연장선위에 EP=m인 점P를 잡고 P를 중심으로 반지름m인 원을 작도하면 구하고자 하는 삼각형의 꼭지점C는 원P의 원주 상에 있어야 한다.

<이유>원O‘의 방정식(즉, 점A의 자취의 방정식)을 [eqn: x ^{2} +(y- {sqrt {3}} over {2} m) ^{2} =m ^{2}]라 두면

점C에 대하여, E[eqn: ( {m} over {2} ,``0)]는 A와 C의 중점이므로 점C의 자취의 방정식은

[eqn: (x-m) ^{2} +(y+ {sqrt {3}} over {2} m) ^{2} =m ^{2}]

G를 중심으로 반지름 [eqn: {2} over {3} AD(= {2} over {3} k)]인 원을 작도하고 원O‘와 만나는 점을 A라 둔다. A와 E를 지나는 직선이 원P와 만나는 점을 C라 한다.

이때, 점G([eqn: {1} over {6} m,] 0), O'(0, [eqn: {sqrt {3}} over {2} m])에 대하여 GO'=[eqn: {sqrt {7}} over {3} m]이므로,

(i)[eqn: {2} over {3} k SUCC ( {sqrt {7}} over {3} +1)m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 존재하지 않는다.

(ii)[eqn: {2} over {3} k=( {sqrt {7}} over {3} +1)m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 한 개만 존재한다.

(iii)[eqn: {2} over {3} m PREC {2} over {3} k＜( {sqrt {7}} over {3} +1)m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 두 개가 존재한다.

(iv)[eqn: {1} over {3} m PREC {2} over {3} k LEQ {2} over {3} m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 한 개만 존재한다.

(v)[eqn: {2} over {3} k LEQ {1} over {3} m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 존재하지 않는다.

<문제2> 삼각형 ABC가 있습니다. 이 중 작도의 조건에는 30도인 각A와 mb와 mc가 주어졌습    니다. 어떻게 해야할까요???

A

F    O'

B         G    E

C

<작도법>

위의 그림에서 ∠A=30°, BE=m, CF=n(E, F : 각 변의 중점)

먼저 BE(=m)를 작도한다.  위의 그림처럼 BE를 한 변으로 하는 정삼각형O′BE를 작도한다.

점O'를 중심으로 반지름이 m인 원을 작도하면 구하고자 하는 삼각형의 꼭지점A는 원O'의 원주상(BE의 위쪽)에 있어야한다.

O'B의 중점을 P라 하고 반지름이 [eqn: {m} over {2}]인 원을 작도하면 점F는 원P의 원주 상에 있어야 한다.

<이유>원O'의 방정식을 [eqn: x ^{2} +(y- {sqrt {3}} over {2} m) ^{2} =m ^{2}]라 두면 점F에 대하여,

F는 A와 B([eqn: - {m} over {2}],0)의 중점이므로 점F의 자취의 방정식은

[eqn: (x+ {m} over {4} ) ^{2} +(y+ {sqrt {3}} over {4} m) ^{2} =( {m} over {2} ) ^{2}]

또한, F는 G로부터 [eqn: {1} over {3} CF(= {1} over {3} n)]거리에 있어야 하므로, G를 중심으로 반지름 [eqn: {1} over {3} n]인 원을 작도하고 원O'와 만나는 점을 F라 둔다.

이때, 점 P[eqn: (- {m} over {4} ,``` {sqrt {3}} over {4} m)], G([eqn: {1} over {6} m,```0])에 대하여  PG=[eqn: {sqrt {13}} over {6} m]이므로,

(i) [eqn: {1} over {3} n SUCC {sqrt {13} +3} over {6} m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 존재하지 않는다.

(ii)[eqn: {1} over {3} n= {sqrt {13} +3} over {6} m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 유일하게 존재한다.

(iii)[eqn: {2} over {3} m PREC {1} over {3} n PREC {sqrt {13} +3} over {6} m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 두 개가 존재한다.

(iv)[eqn: {1} over {6} m LEQ {1} over {3} n LEQ {2} over {3} m]인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 유일하게 존재한다.

(v)[eqn: {sqrt {13} -3} over {6} m PREC {1} over {3} n PREC {1} over {6} m]인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 두 개가 존재한다.

(vi)[eqn: {1} over {3} n= {sqrt {13} -3} over {6} m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 유일하게 존재한다.

(vii)[eqn: {1} over {3} n PREC {sqrt {13} -3} over {6} m] 인 경우 : 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 존재하지 않는다.

점B와 점F의 연장선이 원O'와 만나는 점을 A라 둔다.

반직선FG의 연장선위에 [eqn: GC= {2} over {3} k]인 점C를 잡는다(즉, 직선FG에서 G에서 F와 반대쪽으로 [eqn: {2} over {3} k]떨어진 지점에 점 C 를 잡는다.).