1. 세 자연수 14521, 14913, 15599를 어떤 자연수로 나누었을 때, 같은 나머지가 나오도록 하는 자연수중 가장 큰수는?

<풀이>m을 주어진 세 자연수들을 나누었을 때, 같은 나머지가 나오게 하는 수라 두면

14521=mq+r, 14913=mq'+r', 15599=mq''+r'' 꼴로 표현되어야 합니다.

따라서 m은 14913-14521(=392),  15599-14913(=686), 15599-14521(=1078)들의 공약수입니다.

따라서, 구하고자 하는 수는 392, 686, 1078의 최대공약수이므로 98이 됩니다.

2. 17명의 사람이 서로 간에, 각 사람은 모든 사람에게 서신교환을 한다. 편지는 3가지만의 서로 다른 토픽으로 이루어진다. 서신교환한 각 쌍은 한 토픽만을 다룬다. 같은 토픽에 대하여 서로 간에 서신교환을 적어도 3쌍의 사람이 했음을 설명해 보아라.

<풀이>3가지 토픽 중 한 토픽에 관한 서신을 쓴 사람들은 적어도 6명은 되어야 합니다.

(왜냐하면, 3가지 토픽들에 관한 서신을 쓴 사람이 각 각 6명 미만이라면 사람 수가 3×5=15명 이하가 되므로 이는 사람 수가 17명이라는 사실에 모순되기 때문입니다.)

따라서, 적어도 3쌍의 사람은 같은 토픽에 대하여 서로 간에 서신교환을 하여야 만 됩니다.

3. m개의 정수 [eqn: a _{1} `,`a _{2} ,` CDOTS `,`a _{m~}]을 생각한다. 이들 중 몇 개를 합하면 그 합이 m으로 나누어  떨어지는 것을 증명하라. 입니다.

<풀이>[eqn: b _{1} =a _{1} ,```b _{2} =a _{1} +a _{2} ,```` CDOTS `,``b _{m} =a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{m}]라 할 때,

만약 [eqn: b _{1} `,`b _{2} ,` CDOTS `,`b _{m~}]중 어느 것도 m으로 나누어떨어지지 않으면 비둘기집의 원리에 의하여[eqn: b _{1} `,`b _{2} ,` CDOTS `,`b _{m~}]중 어느 두 수는 m으로 나누었을 때 나머지가 같아야만 합니다.

(부연해서 말씀드리면 [eqn: b _{1} `,`b _{2} ,` CDOTS `,`b _{m~}]중 어느 것도 m으로 나누어떨어지지 않는다면 m개의 수 [eqn: b _{1} `,`b _{2} ,` CDOTS `,`b _{m~}]들은 m으로 나누었을 때 1, 2, … , m-1 중 한 개의 값을 나머지로 가져야만 합니다.  즉, m개의 수가 (m-1)개의 값들 중 한 개의 값을 취해야 하므로 적어도 어느 두 수는 같은 나머지를 가져야만 합니다.)

그 두 수를 [eqn: b _{i} `,`b _{j} (i<j)]라 두면,

[eqn: b _{j} `-`b _{i} =(a _{j} +a _{j-1} +` CDOTS `+a _{1} )-(a _{i} +a _{i-1} + CDOTS +a _{1} )=a _{j} + CDOTS +a _{i+1}] 은 m으로 나누어 떨어집니다.