칼라비 삼각형

정삼각형 안에 넓이가 최대가 되도록 내접하면서 합동인 정사각형 3개를 만들 수 있다. 이처럼 넓이가 최대가 되도록  내접하면서 서로 합동인 정사각형 3개가 되는 삼각형은 정삼각형 말고 한 가지가 더 있다. 칼라비 삼각형에서 가장 긴 변의 다른 두 변에 대한 길이의 비를 [eqn: x]라 하면, 이 수 [eqn: x]는 방정식 [eqn: 2x ^3` - 2x ^2` -3x+2`=0}}]의 해인 대수적 수 [eqn: x = 1.55138752455 cdots]이다. (존 콘웨이, 리처드 가이, 이진주 역, 수의 바이블, 한승, 2003. 243-244 쪽)

이것을 증명해 봅시다.

(풀이)

그림과 같이 내접하는 정사각형의 한 변의 길이가 1일 때,  BD의 길이를 t라 할 때, t에 대한 방정식은 다음과 같이 구한다.

그림에서 [eqn: ANGLE DBC = theta] 로 놓으면

[eqn: bar {BD} = cot theta = t = bar {BF}=bar {GC}]

[eqn: bar{AB} cos theta = 1 over 2 bar{BC}] 에서

[eqn: (1 + cot theta ) cos theta = 1 over 2 (1 + 2cot theta ) = 1 over 2 + cot theta]

[eqn: (1 + cot theta )^2 cos^2 theta = ( 1 over 2 + cot theta )^2]

[eqn: (1 + cot theta )^2 = ( 1 over 2 + cot theta )^2 cdot 1 over {cos^2 theta}]

[eqn: 1 + tan ^2 theta = 1 over {cos ^2 theta }]이므로

[eqn: (1 + cot theta )^2 = ( 1 over 2 + cot theta )^2 cdot ( 1 + tan^2 theta})]

[eqn: (1 + cot theta )^2 = ( 1 over 2 + cot theta )^2 cdot ( 1 + 1 over {cot^2 theta})]

[eqn: (1 + cot theta )^2 cdot cot^2 theta = ( 1 over 2 + cot theta )^2 cdot ( 1 + {cot^2 theta})]

[eqn: cot theta =t]이므로

[eqn: (1+2t +t^2 ) cdot t^2 = ( 1 over 4 + t + t^2 )(1 + t^2 )]

이를 정리하면

[eqn: t^3 - 1 over 4 t^2 -t - 1 over4 =0]

[eqn: 4t ^{3} -t ^{2} -4t-1=0]

이제 이등변삼각형의 두 변의 길이의 비를 구하기 위하여 가장 긴 변의 다른 두 변에 대한 길이의 비 [eqn: x]에 방정식을 구하여 보자.

[eqn: {2t+1} over {1+t} =x] 로 놓으면 [eqn: 2t+1 = xt+x]에서 [eqn: t= {x-1} over {2-x}]

이를 [eqn: 4t ^{3} -t ^{2} -4t-1=0]에 대입하여 정리하면

[eqn: 4( x-1 over 2-x ) ^{3} - ( x-1 over 2-x ) ^{2} -4( x-1 over 2-x )-1=0]

양변에 [eqn: (2-x)^3]을 곱하여 정리하면

[eqn: 4( x-1 ) ^{3} - ( x-1 ) ^{2} (2-x) -4( x-1)( 2-x )^2 - (2-x)^3 =0]

[eqn: 2x ^3` - 2x ^2` -3x+2`=0}}]