<정답>

문제 1.

직선(또는 선분)을 하나씩 더 그릴 때 생기는 교점의 수보다 1개 씩 더 늘어난다.

[eqn: a_n]은 [eqn: n]개의 직선이 있으므로 [eqn: n+1]개의 직선에는 교점이 [eqn: n]개 늘어난다. 따라서 늘어나는 영역의 수는 [eqn: n+1]개가 늘어난다.

[eqn: a_n+1 = a_n + (n+1)] , [eqn: a_1 =2]

이를 풀면 [eqn: a_n = 1 over 2 ( n^2 + n + 2 )] 이다.

문제 2.

4개의 점이 있으면 하나의 대각선의 교점이 생긴다.

따라서 [eqn: n]개에서 4개를 뽑는 수만큼 대각선의 교점이 생긴다.

[eqn: ` _n C _ 4 = 1 over 24 n(n-1)(n-2)(n-3)]

문제3.

[eqn: {1} over {24} (n ^{4} -6n ^{3} +23n ^{2} -18n+24)]

이 답을 보니 그 책에서 1이 탈자가 된 것이다. 실은 인터넷을 검색하기 전에 이 답을 확인하려 했으나 그 풀이가 쉽지 않았다. 그래서 4차식은 맞을 거란 생각에 연립방정식을 풀어 그 답을 확인하였다. 그러다가 아래의 사이트에 답과 간단한 풀이가 나와 있었다.

[eqn: g(n) =` _n C _ 4 + ` _n C _ 2 + 1][eqn: = {1} over {24} (n ^{4} -6n ^{3} +23n ^{2} -18n+24)]

http://mathworld.wolfram.com/CircleDivisionbyChords.html