<풀이>

1번의 답은 6회

2번의 답은 14.7회입니다.

<참고>

1. 문제는 다음의 책에서 나온 이야기입니다.
생활 속 수학이야기 212-214pp, 알브레히트 보이텔프라허(김태희 옮김), 황소자리, 2008

2. 다음은 서울사대부고 윤상호 선생의 풀이입니다

lemma(보조정리) 1. 동전의 앞면이 나올 때까지 던진 평균 횟수는 2회

풀이)

평균 횟수는

[eqn: S = 1 times 1 over 2 + 2 times 1 over 2^2 + 3 times 1 over 2^3 + cdots]

이 값을 구하기 위하여 [eqn: 1 over2 S]를 구하고

[eqn: 1 over 2 S = 1 times 1 over 2^2 + 2 times 1 over 2^3 + 3 times 1 over 2^4 + cdots]

변변 빼면

[eqn: {1} over {2} S=1 TIMES {1} over {2} +1 TIMES {1} over {2 ^{2}} +1 TIMES {1} over {2 ^{3}} + CDOTS =1]

[eqn: S=2]

Theorem(정리) 1. 동전을 던져 앞뒤가 모두 나올 때까지의 평균 횟수는 3회

풀이)

1회 던져 앞면 또는 뒷면

1회째 나온 것과 다른 면이 나올 때까지의 평균 횟수는 2회 (lemma 1.)

따라서 총 평균 횟수는 1+2 = 3

lemma(보조정리) 2. 확률이 p인 사건이 나올때까지 던진 평균 횟수는 [eqn: 1overp]회

풀이)

[eqn: p+q=1]일 때, 평균 횟수는

[eqn: S & =`p+2`pq+3`pq ^{2} +4pq ^{3} + CDOTS # qS & =pq+2pq ^{2} +3pq ^{3} + CDOTS]

-)

[eqn: (1-q)S=p+pq+pq ^{2} +pq ^{3} +cdots=1]

[eqn: S=` {1} over {p}]

Theorem(정리) 2. 주사위를 던져 1~6까지 모두 나올 때까지의 평균 횟수는

[eqn: 6 over 6 + 6 over 5 + 6 over 4 + 6 over 3 + 6 over 2 + 6 over 1 = 147 over 10]

풀이)

1) 던져서 1~6까지 중 나올 때까지의 평균 횟수는 1회

2) 위에서 나온 숫자를 제외하고 나올 확률은 [eqn: 5over6]

이 때까지의 평균횟수는 [eqn: 5over6]회 (lemma2)

3) 위에서 나온 숫자 2개를 제외하고 나올 확률은 [eqn: 4over6]

이 때까지의 평균횟수는 [eqn: 4over6]회 (lemma2)

이 방식으로 전개하면, 처음에 나오는 경우의 수는 6가지이므로 구하는 평균횟수는

[eqn: 6 over 6 + 6 over 5 + 6 over 4 + 6 over 3 + 6 over 2 + 6 over 1 = 147 over 10]

이다.