그림자 퍼즐과 수학적 풀이

이 퍼즐의 이름은 악마 (Devil) 다. 19세기 말에 독일에서 처음으로 만든 그림자 퍼즐의 일종인 코볼트(kobolt). 독일어 kobolt는 작은 마귀, 혹은 개구쟁이 정도이지만 그림자 퍼즐 중에서 가장 어려운 것이어서 악마란 이름이 붙었다.

위의 그림에서 위의 직각삼각형의 밑변의 길이를 1이라하면 그 삼각형의 높이는 2이고 이때 빗변의 길이는 [eqn: sqrt{5`}`]이다. 그러면 각 변의 길이는 1, 2, [eqn: sqrt{5`}`], [eqn: sqrt{5`} over 2`]중의 하나이다.

이제 정사각형을 만드는데 그 넓이는 12이다. ([eqn: ( 1 over2 times 2 times 2 ) times 4 + 2 times 2 =12`] )

이제 구하는 직사각형의 한 변의 길이는 적당한 유리수 [eqn: a,~b,~c,~d`]에 대하여

[eqn: a+ b sqrt{5`}``], [eqn: c+ d` sqrt{5`}``]의 형태이다.

그런데 넓이가 12이므로

[eqn: (a+ b sqrt{5`}`)`(c+d` sqrt{5`})`=12`]   [eqn: cdots cdots`]㉠

이를 전개하여 풀면

[eqn: ac+ 5bd + (b`c + a `d)`sqrt{5`}`=12`] [eqn: cdots cdots`]㉡

무리수의 상등에서

[eqn: bc+ ad=0`] [eqn: cdots cdots`]㉢ , [eqn: ac+5bd=12`]    [eqn: cdots cdots`]㉣

[eqn: bc+ ad=0`]에서

(1) [eqn: a=0`]일 때

㉠에서 [eqn: b!=0`]이고 이 때 ㉢에서 [eqn: c=0`]이다.

이 경우 만족하는 정수가 없다.

(2) [eqn: a !=0`]일 때

㉢에서 [eqn: d=0`]이고 이 때 ㉠에서 [eqn: c!=0`]이다.

따라서, [eqn: b=0`]이다.

이를 이용하여 직사각형을 만들면

오른쪽 그림과 같은 [eqn: 3 times 4=12`]인

직사각형이 만들어진다.

(그림과 같이 바깥의 각 변의 길이는 정수로 이루
어져 있음을 이용하면 풀이를 쉽게 찾을 수 있다.)