동전 옮기기

1. 다음 그림과 같이 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 붙어 있다.

(1)  동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 하여라.

조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다.

조건2. 동전 4개의 중심이 이루는 정사각형의 위치가 처음과 다르다.

(2)  이 때, 움직이는 회수가 가장 적은 것은 몇 회인가?

2. 동전 6개를 그림과 같이 정삼각형 모양으로 배열되어 있다.

(1) 동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 정삼각형 모양을 정육각형 모양으로 만들어라.

조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다.

조건2. 동전을 들어내지 않고 옆으로 이동해야 한다.

(2) 이 때, 움직이는 회수가 가장 적은 것은 몇 회인가?

⇒

3. 동전 8개를 그림과 같이 H 모양과 정사각형 모양으로 배열되어 있다.

동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 아래의 문제를 해결하여라.

조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다.

조건2. 동전을 들어내지 않고 옆으로 이동해야 한다.

(1) H 모양을 정사각형 모양으로 만들어라.

(2) 정사각형 모양을 H 모양으로 만들어라.

풀이

1. 다음의 풀이에서 점선으로 그려진 원은 움직여서 빈자리를 나타낸다.

3번 움직여서 정사각형 만들기

(1)                                      (2)

(3)

다음의 풀이에서 점선으로 그려진 원은 움직여서 빈자리를 나타낸다.

4번 움직여서 정사각형 만들기

(1)                                      (2)

(3)	(4)

2.

4번만에 정육각형 만들기(1)

①	②

③	④

4번만에 정육각형 만들기(2) - 같은 4회이지만 위의 방법도 더 좋은 방법이다.

①	②

③	④

5번만에 정육각형 만들기

①	②

③	④

⑤

3. (1) 4번을 움직여서 정사각형 모양을 만든다.

①

②	③

④

(2) 6번 움직여서 H자를 만드는 방법

①	②

③	④

⑤	⑥

7번 움직여 H자를 만드는 방법(수학아 놀자, 브라이언 볼트, 푸른 미디어  33쪽)	①	②

③    ④  ⑤    ⑥   ⑦

해설

다음의 풀이에서 점선으로 그려진 원은 움직여서 빈자리를 나타낸다.

1. 정사각형 옮기기

1. 다음 그림과 같이 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 붙어 있다.

(1)  동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 하여라.

조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다.

조건2. 동전 4개의 중심이 이루는 정사각형의 위치가 처음과 다르다.

(2)  이 때, 움직이는 회수가 가장 적은 것은 몇 회인가?

<해설>

(1)  대칭성에 의하여 어느 것을 움직이나 마찬가지이다. 여기서는 4번 동전을 옮겨서 (1,2)의 위에 옮긴다.

(coin4-1)

1

2

3

4

4

(2) 3을 옮기면 평행사변형이 나오므로 정사각형을 만들 수 없다. 1도 삼각형이 분리가 되거나 4의 위치로 가므로 움직일 수 없다. 따라서, 2를 옮길 수 밖에 없다.

경우1. 2가 (1,4)에 이웃하게 옮기는 경우

(coin4-4-2)

대칭의 모양이므로 4를 (1,2)에 이웃하게 옮긴다.

다시 2를 (3,4)에 이웃하게 옮기면 4번에 완성된다.

(coin4-4-3)	(coin4-4-4)

경우2. 2가 (1,3)의 왼쪽으로 옮기는 경우

(coin4-42-2)

1이 옮겨지면 동전이 서로 분리가 되어 곤란하다., 4가 옮겨지면 평행사변형이 만들어지므로 곤란하다. 따라서, 3을 옮길 수 밖에 없다.

경우 2-1; 3이 (1,2)에 이웃하게 옮기면 다음에 2를 (3, 4)에 이웃하게 옮겨서 4번에 완성된다.

(coin4-42-3)

경우 2-2; 3이 (1,4)에 이웃하게 옮기면 다음에 4를 (3, 2)에 이웃하게 옮겨서 4번에 완성된다.

경우3. 2가 (1,3)의 오른쪽으로 옮기는 경우

세 동전 (4, 1, 3)이 직각을 이루므로 3을 (2, 4)에 붙이면 3번에 완성된다.

(coin4-3-2)	(coin4-3-3)

(coin4 -sol)

이상과 같이 시행착오에 의하여 퍼즐을 풀 수도 있지만 논리적으로 해결 할 수도 있다. 이런 필연의 과정을 찾아가는 것이 문제해결방법이라고 본다면 동전옮기기는 문제해결 방법의 모범사례라 할 수 있다.

문제 2. 정육각형 만들기

동전 6개를 그림과 같이 정삼각형 모양으로 배열되어 있다.

(1) 동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 정삼각형 모양을 정육각형 모양으로 만들어라.

조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다.

조건2. 동전을 들어내지 않고 옆으로 이동해야 한다.

(2) 이 때, 움직이는 회수가 가장 적은 것은 몇 회인가?

⇒

<해설>

①	②

1

2

3

4

5

6

1

처음에 옮기는 것은 대칭성에 의하여 (1, 4, 6)과 (2, 3, 5)를 옮기는 것은 같은 조건이 된다.

1. 먼저  (1, 4, 6)중의 하나를 옮기는 경우를 생각하여보자.

가급적 (4, 2, 3, 6)을 고정시켜 정육각형을 만들어 보자.

① 1을 옮기는데 5가 빠져나오기 쉽게하기 위하여 (3, 6)에 붙인다.

(coin6-5-1)	(coin6-5-2)

② 5가 막히면 움직이는 횟수가 늘어나므로 5를 이동시켜 (1, 6)에 붙인다.

③ 이제 정육각형을 만들려면 1을 (5, 6)에 붙인다.

④ 계속해서  정육각형을 만들려면 5를 (1, 6)에 붙인다.

③	④

(coin6-5-3)	(coin6-5-4)

⑤ 이제 1을 (5, 4)에 붙이면 5회의 이동으로 정육각형이 만들어진다.

⑤

(coin6-5-5)

앞에서 문제가 해결될 수 있음을 알았다. 이제 최소횟수를 구하여보자.

앞에서 (1, 4, 6)중의 하나를 옮겼으므로 여기서는 (2, 3, 5)를 옮기는 것은 경우를 생각하여보자.

대칭성에 의하여 2를  옮기는 경우를 생각하자. 2를 (4, 5)또는  (5, 6)에 접하게 옮기는 2가지 경우가 있다.

① 경우1; 대칭성에 의하여 2를 (5, 6)에 옮기는 경우를 생각하자.

② 5가 빠져나오기 위하여 3이나 4가 움직이면 된다.

경우 2-1; 3이 (4,5,2)에 접하게 옮기면 5가 정육면체의 한 변이 되도록 (1, 6)에 접하게 움직이고, 다음에 1이 (4, 5)에 접하도록 옮기면 4번에 완성된다. (그림 ③,	④ 참고)

①	②

(coin6-4-1)	(coin6-42-2)

1

3

4

5

6

2

2

③	④

(coin6-42-3)	(coin6-42-4)

경우 2-2; 4가 (5,2)에 접하게 옮기면 5가 정육면체의 한 변이 되도록 (1, 3)에 접하게 움직이고, 다음에 1이 (4, 5)에 접하도록 옮기면 4번에 완성된다.  (그림 ③, ④ 참고)

①	②

(coin6-4-1)	(coin6-4-2)

③	④

(coin6-4-3)	(coin6-4-4)

2를 (4, 5)에 접하게 옮기는 경우도 위의 2가지와 비슷한 방법으로 문제를 해결된다.

같은 4회의 옮김으로 문제를 해결하지만 나중의 것이 더 좋은 풀이라고 생각된다. 처음의 것은 3번째에 다른 것을 건드릴 가능성이 높기 때문이다.

(coin6-42sol)	(coin6-4sol)

문제3.

7번 움직여 H자를 만드는 방법(수학아 놀자, 브라이언 볼트, 푸른 미디어  33쪽)	①	②

③    ④  ⑤    ⑥   ⑦

문제3. 6번 움직여서 H자를 만드는 방법

차례로 1부터 8까지 번호를 적어서 생각하자. 이 때, (3, 4, 5, 8)을 고정하고 생각하면 편리하다. (1, 2, 3, 4)를 고정시키는 것도 생각할 수 있으나 횟수가 더 많아진다.

①	②

③	④

⑤	⑥